（6 分）（2016 •浙江）设函数 f(x)=x^ 3…——2016 高考数学第 12 题答案解析

【分析】根据函数解析式化简 $\mathrm{f}(\mathrm{x})-\mathrm{f}(\mathrm{a})$ ，再化简 $(\mathrm{x}-\mathrm{b})(\mathrm{x}-\mathrm{a})^{2}$ ，根据等式两边对应项的系数相等列出方程组，求出 $\mathrm{a} , \mathrm{~b}$ 的值。
【解答】解：∵ $f(x)=x^{3}+3 x^{2}+1$ ，
$\therefore f(x)-f(a)=x^{3}+3 x^{2}+1-\left(a^{3}+3 a^{2}+1\right)$
$=x^{3}+3 x^{2}-\left(a^{3}+3 a^{2}\right)$
$\because(x-b)(x-a)^{2}=(x-b)\left(x^{2}-2 a x+a^{2}\right)=x^{3}-(2 a+b) x^{2}+\left(a^{2}+2 a b\right) x-a^{2} b$,
且 $f(x)-f(a)=(x-b)(x-a)^{2}$ ，
$\therefore\left\{\begin{array}{l}-2 a-b=3 \\ a^{2}+2 a b=0 \\ a^{3}+3 a^{2}=a^{2} b\end{array}\right.$ ，解得 $\left\{\begin{array}{l}a=-2 \\ b=1\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}a=0 \\ b=-3\end{array}\right.$（舍去），
故答案为：$-2 ; 1$ ．
【点评】本题考查函数与方程的应用，考查化简能力和方程思想，属于中档题．