记 A B C 的内角 A, B, C 的对边分别为 a,…——2022 高考数学第 18 题答案解析

【答案】①$\frac{\sqrt{2}}{8}$
②$\frac{1}{2}$

【解析】

【分析】（1）先表示出 $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ ，再由 $S_{1}-S_{2}+S_{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 求得 $a^{2}+c^{2}-b^{2}=2$ ，结合余弦定理及平方关系求得 $a c$ ，再由面积公式求解即可；
②由正弦定理得 $\frac{b^{2}}{\sin ^{2} B}=\frac{a c}{\sin A \sin C}$ ，即可求解．

【小问 1 详解】

由题意得 $S_{1}=\frac{1}{2} \cdot a^{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4} a^{2}, S_{2}=\frac{\sqrt{3}}{4} b^{2}, S_{3}=\frac{\sqrt{3}}{4} c^{2}$ ，则 $S_{1}-S_{2}+S_{3}=\frac{\sqrt{3}}{4} a^{2}-\frac{\sqrt{3}}{4} b^{2}+\frac{\sqrt{3}}{4} c^{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，
即 $a^{2}+c^{2}-b^{2}=2$ ，由余弦定理得 $\cos B=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2 a c}$ ，整理得 $a c \cos B=1$ ，则 $\cos B>0$ ，又 $\sin B=\frac{1}{3}$ ，

则 $\cos B=\sqrt{1-\left(\frac{1}{3}\right)^{2}}=\frac{2 \sqrt{2}}{3}, a c=\frac{1}{\cos B}=\frac{3 \sqrt{2}}{4}$ ，则 $S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} a c \sin B=\frac{\sqrt{2}}{8}$ ；

【小问 2 详解】

由正弦定理得：$\frac{b}{\sin B}=\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$ ，则 $\frac{b^{2}}{\sin ^{2} B}=\frac{a}{\sin A} \cdot \frac{c}{\sin C}=\frac{a c}{\sin A \sin C}=\frac{\frac{3 \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{3}}=\frac{9}{4}$ ，则 $\frac{b}{\sin B}=\frac{3}{2}$ ，

$b=\frac{3}{2} \sin B=\frac{1}{2}$ ．