已知函数 f(x) 的定义域为 R，且 f(x+y)+f(…——2022 高考数学第 8 题答案解析

【答案】A

## 【解析】

【分析】根据题意赋值即可知函数 $f(x)$ 的一个周期为 6 ，求出函数一个周期中的 $f(1), f(2), \cdots, f(6)$的值，即可解出．

【详解】因为 $f(x+y)+f(x-y)=f(x) f(y)$ ，令 $x=1, y=0$ 可得， $2 f(1)=f(1) f(0)$ ，所以 $f(0)=2$ ，令 $x=0$ 可得，$f(y)+f(-y)=2 f(y)$ ，即 $f(y)=f(-y)$ ，所以函数 $f(x)$ 为偶函数，令 $y=1$ 得，$f(x+1)+f(x-1)=f(x) f(1)=f(x)$ ，即有 $f(x+2)+f(x)=f(x+1)$ ，从而可知 $f(x+2)=-f(x-1), f(x-1)=-f(x-4)$ ，故 $f(x+2)=f(x-4)$ ，即 $f(x)=f(x+6)$ ，所以函数 $f(x)$ 的一个周期为 6 ．

因为 $f(2)=f(1)-f(0)=1-2=-1, f(3)=f(2)-f(1)=-1-1=-2$ ， $f(4)=f(-2)=f(2)=-1, f(5)=f(-1)=f(1)=1, f(6)=f(0)=2$ ，所以一个周期内的 $f(1)+f(2)+\cdots+f(6)=0$ ．由于 22 除以 6 余 4 ，

所以 $\sum_{k=1}^{22} f(k)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1-1-2-1=-3$ ．
故选：A．