已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为 r_ 1 和 r_…——2024 高考数学第 14 题答案解析

【答案】 $\frac{\sqrt{6}}{4}$

## 【解析】

【分析】先根据已知条件和圆台结构特征分别求出两圆台的高，再根据圆台的体积公式直接代入计算即可得解．

【详解】由题可得两个圆台的高分别为 $h_{\text {甲 }}=\sqrt{\left[2\left(r_{1}-r_{2}\right)\right]^{2}-\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}}=\sqrt{3}\left(r_{1}-r_{2}\right)$ ，
$h_{\text {乙 }}=\sqrt{\left[3\left(r_{1}-r_{2}\right)\right]^{2}-\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}}=2 \sqrt{2}\left(r_{1}-r_{2}\right)$ ，

所以 $\frac{V_{\text {甲 }}}{V_{\text {乙 }}}=\frac{\frac{1}{3}\left(S_{2}+S_{1}+\sqrt{S_{2} S_{1}}\right) h_{\text {甲 }}}{\frac{1}{3}\left(S_{2}+S_{1}+\sqrt{S_{2} S_{1}}\right) h_{\text {乙 }}}=\frac{h_{\text {甲 }}}{h_{\text {乙 }}}=\frac{\sqrt{3}\left(r_{1}-r_{2}\right)}{2 \sqrt{2}\left(r_{1}-r_{2}\right)}=\frac{\sqrt{6}}{4}$ ．
故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{4}$ ．