19．（本题满分 12 分）本题共有 2 个小题，第 1 个小题满分 6 分，第 2 个小题满分 6 分．
将边长为 1 的正方形 $A A_{1} O_{1} O$（及其内部）绕 $O O_{1}$ 旋转一周形成圆柱，如图，$\overparen{A C}$ 长为 $\frac{5 \pi}{6}$ ， $\overparen{A_{1} B_{1}}$ 长为 $\frac{\pi}{3}$ ，其中 $B_{1}$ 与 $C$ 在平面 $A A_{1} O_{1} O_{\text {的同侧．}}$
（1）求圆柱的体积与侧面积；
（2）求异面直线 $O_{1} B_{1}$ 与 $O C$ 所成的角的大小．
参考答案(1) $V=\pi, S=2 \pi$; (2) $\frac{\pi}{2}$ ． 【解析．】 试题分析：（1）由题意可知，圆柱的高 $h=1$ ，底面半径 $r=1$ ．由此计算即得． （2）由 $\mathrm{O}_{1} \mathrm{~B}_{1} / / \mathrm{OB}$ 得 $\angle \mathrm{COB}$ 或其补角为 $\mathrm{O}_{1} \mathrm{~B}_{1}$ 与 OC 所成的角，再结合题设条件计算即得 试题解析：（1）由题意可知，圆柱的母线长 $l=1$ ，底面半径 $r=1$ ．  圆柱的体积 $V=\pi r^{2} l=\pi \times 1^{2} \times 1=\pi$ ， 圆柱的侧面积 $S=2 \pi r l=2 \pi \times 1 \times 1=2 \pi$ ． ②设过点 $B_{1}$ 的母线与下底面交于点 $B$ ，则 $O_{1} B_{1} / / O B$ ， 所以 $\angle C O B$ 或其补角为 $O_{1} B_{1}$ 与 $O C$ 所成的角． 由 $\widehat{A_{1} B_{1}}$ 长为 $\frac{\pi}{3}$ ，可知 $\angle A O B=\angle A_{1} O_{1} B_{1}=\frac{\pi}{3}$ ， 由 $\overparen{A C}$ 长为 $\frac{5 \pi}{6}$ ，可知 $\angle A O C=\frac{5 \pi}{6}, \angle C O B=\angle A O C-\angle A O B=\frac{\pi}{2}$ ， 所以异面直线 $O_{1} B_{1}$ 与 $O C$ 所成的角的大小为 $\frac{\pi}{2}$ ． 考点：1．几何体的体积；2．空间角．
