（12分）如图，直棱柱 A B C-A_ 1 B_ 1 C…——2013 高考数学第 18 题答案解析

【考点】LS：直线与平面平行； MJ ：二面角的平面角及求法．
【专题】11：计算题；14：证明题；5G：空间角．
【分析】（I）通过证明 $\mathrm{BC}_{1}$ 平行平面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{CD}$ 内的直线 DF ，利用直线与平面平行

的判定定理证明 $\mathrm{BC}_{1} \|$ 平面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{CD}$
（II）证明 $D E \perp$ 平面 $A_{1} D C$ ，作出二面角 $D-A_{1} C-E$ 的平面角，然后求解二面角平面角的正弦值即可。

【解答】解：（ I ）证明：连结 $\mathrm{AC}_{1}$ 交 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{C}$ 于点 F ，则 F 为 $\mathrm{AC}_{1}$ 的中点，
又 D 是 AB 中点，连结 DF ，则 $\mathrm{BC}_{1} \| \mathrm{DF}$ ，
因为 $D F \subset$ 平面 $A_{1} C D, B C_{1} \not \subset$ 平面 $A_{1} C D$ ，
所以 $\mathrm{BC}_{1} \|$ 平面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{CD}$ ．
（II）因为直棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ ，所以 $A A_{1} \perp C D$ ，
由已知 $A C=C B$ ，$D$ 为 $A B$ 的中点，所以 $C D \perp A B$ ，
又 $A A_{1} \cap A B=A$ ，于是，$C D \perp$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ，
设 $A B=2 \sqrt{2}$ ，则 $A A_{1}=A C=C B=2$ ，得 $\angle A C B=90^{\circ}$ ，
$C D=\sqrt{2}, \quad A_{1} D=\sqrt{6}, \quad D E=\sqrt{3}, \quad A_{1} E=3$
故 $A_{1} D^{2}+D E^{2}=A_{1} E^{2}$ ，即 $D E \perp A_{1} D$ ，所以 $D E \perp$ 平面 $A_{1} D C$ ，
又 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{C}=2 \sqrt{2}$ ，过 D 作 $\mathrm{DF} \perp \mathrm{A}_{1} \mathrm{C}$ 于 $\mathrm{F}, ~ \angle \mathrm{DFE}$ 为二面角 $\mathrm{D}-\mathrm{A}_{1} \mathrm{C}-\mathrm{E}$ 的平面角，
在 $\triangle \mathrm{A}_{1} \mathrm{DC}$ 中， $\mathrm{DF}=\frac{\mathrm{A}_{1} \mathrm{D} \cdot \mathrm{DC}}{\mathrm{A}_{1} \mathrm{C}}=\frac{\sqrt{6}}{2}, \quad \mathrm{EF}=\sqrt{\mathrm{DE}^{2}+\mathrm{DF}^{2}}=\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ ，
所以二面角 $\mathrm{D}-\mathrm{A}_{1} \mathrm{C}-\mathrm{E}$ 的正弦值． $\sin \angle \mathrm{DFE}=\frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{EF}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$ ．

【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法 ，考查空间想象能力与计算能力。