2025_上海卷 (2025)
18．如图， P 是圆锥的顶点， 0 是底面圆心， AB 是底面直径，且 $A B=2$ ．
（1）若直线 PA 与圆锥底面的所成角为 $\frac{\pi}{3}$ ，求圆锥的侧面积；
（2）已知 Q 是母线 PA 的中点，点 $\mathrm{C} , \mathrm{D}$ 在底面圆周上，且弧 $\widehat{A C}$ 的长为 $\frac{\pi}{3}, C D \| A B$ 。设点 M在线段 OC 上，证明：直线 $Q M \|$ 平面 PBD。
(1) 见解析; (2) 见解析
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】（1）联结 $P O$ ，由题意，$\angle P A O=\frac{\pi}{3}, A O=1$ ，故 $P A=2 A O=2$ ，即${ }^{\mid} S_{\text {侧 }}=\pi \cdot A O \cdot P A=2 \pi$
（2）（在此展示向量处理，几何法可利用平面平行推线面平行）
由题意，过 $O$ 作 $l \perp$ 平面 $P A B$ ，以 $O$ 为原点，$l$ 为 $x$ 轴，$A B$ 所在直线为 $y$ 轴，$O P$ 所在直线为 $z$ 轴，建立空间直角坐标系，设 $O P=h$ ，
则 $P(0,0, h), B(0,1,0), C\left(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}, 0\right), D\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, 0\right), Q\left(0,-\frac{1}{2}, \frac{h}{2}\right)$ ，
则 $\overrightarrow{B P}=(0,-1, h), \overrightarrow{B D}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}, 0\right)$ ，设平面 $P A B$ 法向量为 $\vec{n}=(x, y, z)$ ，
$\left\{\begin{array}{l}\vec{n} \perp \overrightarrow{B P} \\ \vec{n} \perp \overrightarrow{B D}\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\vec{n} \cdot \overrightarrow{B P}=-y+h z=0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{B D}=\frac{\sqrt{3}}{2} x-\frac{1}{2} y=0\end{array}\right.\right.$ ，令 $z=1 \Rightarrow \vec{n}=\left(\frac{\sqrt{3} h}{3}, h, 1\right)$
设 $T\left(\frac{\sqrt{3}}{2} t,-\frac{1}{2} t, 0\right)$ ，则 $\overrightarrow{Q T}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2} t,-\frac{1}{2} t+\frac{1}{2},-\frac{h}{2}\right)$ ，
则 $\overrightarrow{Q T} \cdot \vec{n}=\frac{1}{2} h t-\frac{1}{2} h t+\frac{h}{2}-\frac{h}{2}=0$ ，即 $\overrightarrow{Q T} \perp \vec{n}$ ，
由 $Q T$ 不在平面 $P B D$ 内，故直线 $Q T / /$ 平面 $P B D$ ．