在 A B C 中，已知 B A C=120^ , A B…——2023 高考数学第 18 题答案解析

【答案】①$\frac{\sqrt{21}}{14}$ ；
②$\frac{\sqrt{3}}{10}$ ．

【解析】

【分析】（1）首先由余弦定理求得边长 $B C$ 的值为 $B C=\sqrt{7}$ ，然后由余弦定理可得 $\cos B=\frac{5 \sqrt{7}}{14}$ ，最后由同角三角函数基本关系可得 $\sin B=\frac{\sqrt{21}}{14}$ ；
②由题意可得 $\frac{S_{\triangle A B D}}{S_{\triangle A C D}}=4$ ，则 $S_{\triangle A C D}=\frac{1}{5} S_{\triangle A B C}$ ，据此即可求得 $\triangle A D C$ 的面积．

【小问 1 详解】

由余弦定理可得：
$B C^{2}=a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos A$
$=4+1-2 \times 2 \times 1 \times \cos 120^{\circ}=7$ ，
则 $B C=\sqrt{7}, \cos B=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2 a c}=\frac{7+4-1}{2 \times 2 \times \sqrt{7}}=\frac{5 \sqrt{7}}{14}$ ，
$\sin B=\sqrt{1-\cos ^{2} B}=\sqrt{1-\frac{25}{28}}=\frac{\sqrt{21}}{14}$.
【小问 2 详解】
由三角形面积公式可得 $\frac{S_{\triangle A B D}}{S_{\triangle A C D}}=\frac{\frac{1}{2} \times A B \times A D \times \sin 90^{\circ}}{\frac{1}{2} \times A C \times A D \times \sin 30^{\circ}}=4$ ，
则 $S_{\triangle A C D}=\frac{1}{5} S_{\triangle A B C}=\frac{1}{5} \times\left(\frac{1}{2} \times 2 \times 1 \times \sin 120^{\circ}\right)=\frac{\sqrt{3}}{10}$ ．