造型 可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线 C 的一部分。…——2024 高考数学第 11 题答案解析

【答案】ABD

## 【解析】

【分析】根据题设将原点代入曲线方程后可求 $a$ ，故可判断 A 的正误，结合曲线方程可判断 B 的正误，利用特例法可判断 C 的正误，将曲线方程化简后结合不等式的性质可判断 D 的正误。

【详解】对于 A ：设曲线上的动点 $P(x, y)$ ，则 $x>-2$ 且 $\sqrt{(x-2)^{2}+y^{2}} \times|x-a|=4$ ，
因为曲线过坐标原点，故 $\sqrt{(0-2)^{2}+0^{2}} \times|0-a|=4$ ，解得 $a=-2$ ，故 A正确．
对于 B：又曲线方程为 $\sqrt{(x-2)^{2}+y^{2}} \times|x+2|=4$ ，而 $x>-2$ ，
故 $\sqrt{(x-2)^{2}+y^{2}} \times(x+2)=4$ ．
当 $x=2 \sqrt{2}, y=0$ 时，$\sqrt{(2 \sqrt{2}-2)^{2}} \times(2 \sqrt{2}+2)=8-4=4$ ，
故 $(2 \sqrt{2}, 0)$ 在曲线上，故 B 正确．
对于 C：由曲线的方程可得 $y^{2}=\frac{16}{(x+2)^{2}}-(x-2)^{2}$ ，取 $x=\frac{3}{2}$ ，
则 $y^{2}=\frac{64}{49}-\frac{1}{4}$ ，而 $\frac{64}{49}-\frac{1}{4}-1=\frac{64}{49}-\frac{5}{4}=\frac{256-245}{49 \times 4}>0$ ，故此时 $y^{2}>1$ ，
故 $C$ 在第一象限内点的纵坐标的最大值大于 1 ，故 C 错误．
对于 D：当点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 在曲线上时，由 C 的分析可得 $y_{0}^{2}=\frac{16}{\left(x_{0}+2\right)^{2}}-\left(x_{0}-2\right)^{2} \leq \frac{16}{\left(x_{0}+2\right)^{2}}$ ，
故 $-\frac{4}{x_{0}+2} \leq y_{0} \leq \frac{4}{x_{0}+2}$ ，故 D 正确．
故选：ABD．
【点睛】思路点睛：根据曲线方程讨论曲线的性质，一般需要将曲线方程变形化简后结合不等式的性质等来处理．