（12分） A B C 在内角 A、 B、 C 的对边分别…——2013 高考数学第 17 题答案解析

【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．
【专题】58：解三角形．
【分析】（I ）已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，求出 $\tan \mathrm{B}$ 的值，由 B 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出 B 的度数；
（II）利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，把 $\operatorname{sinB}$ 的值代入，得到三角形面积最大即为ac最大，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式

求出 ac 的最大值，即可得到面积的最大值．
【解答】解：（ I ）由已知及正弦定理得： $\sin \mathrm{A}=\sin \mathrm{B} \cos \mathrm{C}+\sin \mathrm{B} \sin \mathrm{C}①$ ，
$\because \sin \mathrm{A}=\sin (\mathrm{B}+\mathrm{C})=\sin \mathrm{B} \cos \mathrm{C}+\cos \mathrm{B} \sin \mathrm{C}②$ ，
$\therefore \sin \mathrm{B}=\cos \mathrm{B}$ ，即 $\tan \mathrm{B}=1$ ，
$\because \mathrm{B}$ 为三角形的内角，
$\therefore \mathrm{B}=\frac{\pi}{4}$ ；
（II） $\mathrm{S}_{\triangle \mathrm{ABC}}=\frac{1}{2} \mathrm{acsin} \mathrm{B}=\frac{\sqrt{2}}{4} \mathrm{ac}$ ，
由已知及余弦定理得： $4=\mathrm{a}^{2}+\mathrm{c}^{2}-2 \mathrm{ac} \cos \frac{\pi}{4} \geq 2 \mathrm{ac}-2 \mathrm{ac} \times \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，
整理得：$a c \leq \frac{4}{2-\sqrt{2}}$ ，当且仅当 $a=c$ 时，等号成立，
则 $\triangle A B C$ 面积的最大值为 $\frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{4}{2-\sqrt{2}}=\frac{1}{2} \times \sqrt{2} \times(2+\sqrt{2})=\sqrt{2}+1$ ．
【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的正弦函数公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．