（5分）设 θ 为第二象限角，若 tan (θ+ π 4…——2013 高考数学第 15 题答案解析

【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；GP：两角和与差的三角函数．
【专题】16：压轴题；56：三角函数的求值．
【分析】已知等式利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简 ，求出 $\tan \theta$ 的值，再根据 $\theta$ 为第二象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出 $\sin \theta$ 与 $\cos \theta$ 的值，即可求出 $\sin \theta+\cos \theta$ 的值．
【解答】解：$\because \tan \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\tan \theta+1}{1-\tan \theta}=\frac{1}{2}$ ，
$\therefore \tan \theta=-\frac{1}{3}$ ，
而 $\cos ^{2} \theta=\frac{\cos ^{2} \theta}{\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta}=\frac{1}{1+\tan ^{2} \theta}$ ，
$\because \theta$ 为第二象限角，
$\therefore \cos \theta=-\sqrt{\frac{1}{1+\tan ^{2} \theta}}=-\frac{3 \sqrt{10}}{10}, \quad \sin \theta=\sqrt{1-\cos ^{2} \theta}=\frac{\sqrt{10}}{10}$ ，
则 $\sin \theta+\cos \theta=\frac{\sqrt{10}}{10}-\frac{3 \sqrt{10}}{10}=-\frac{\sqrt{10}}{5}$ ．
故答案为：$-\frac{\sqrt{10}}{5}$
【点评】此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键。