已知向量 a , b，则＂ ( a + b ) ·( a…——2024 高考数学第 5 题答案解析

【答案】A

## 【解析】

【分析】根据向量数量积分析可知 $(\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}-\vec{b})=0$ 等价于 $|\vec{a}|=|\vec{b}|$ ，结合充分、必要条件分析判断．
【详解】因为 $(\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}-\vec{b})=\vec{a}^{2}-\vec{b}^{2}=0$ ，可得 $\vec{a}^{2}=\vec{b}^{2}$ ，即 $|\vec{a}|=|\vec{b}|$ ，
可知 $(\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}-\vec{b})=0$ 等价于 $|\vec{a}|=|\vec{b}|$ ，
若 $\vec{a}=\vec{b}$ 或 $\vec{a}=-\vec{b}$ ，可得 $|\vec{a}|=|\vec{b}|$ ，即 $(\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}-\vec{b})=0$ ，可知必要性成立；
若 $(\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}-\vec{b})=0$ ，即 $|\vec{a}|=|\vec{b}|$ ，无法得出 $\vec{a}=\vec{b}$ 或 $\vec{a}=-\vec{b}$ ，
例如 $\vec{a}=(1,0), \vec{b}=(0,1)$ ，满足 $|\vec{a}|=|\vec{b}|$ ，但 $\vec{a} \neq \vec{b}$ 且 $\vec{a} \neq-\vec{b}$ ，可知充分性不成立；
综上所述，＂$(\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}-\vec{b})=0$＂是＂$\vec{a} \neq \vec{b}$ 且 $\vec{a} \neq-\vec{b}$＂的必要不充分条件．

故选：A．