已知以边长为 4 的正方形为底面的四棱锥，四条侧棱分别为…——2024 高考数学第 8 题答案解析

【答案】D

## 【解析】

【分析】取点作辅助线，根据题意分析可知平面 $P E F \perp$ 平面 $A B C D$ ，可知 $P O \perp$ 平面 $A B C D$ ，利用等体积法求点到面的距离．

【详解】如图，底面 $A B C D$ 为正方形，
当相邻的棱长相等时，不妨设 $P A=P B=A B=4, P C=P D=2 \sqrt{2}$ ，

分别取 $A B, C D$ 的中点 $E, F$ ，连接 $P E, P F, E F$ ，

则 $P E \perp A B, E F \perp A B$ ，且 $P E \cap E F=E, P E, E F \subset$ 平面 $P E F$ ，
可知 $A B \perp$ 平面 $P E F$ ，且 $A B \subset$ 平面 $A B C D$ ，
所以平面 $P E F \perp$ 平面 $A B C D$ ，
过 $P$ 作 $E F$ 的垂线，垂足为 $O$ ，即 $P O \perp E F$ ，
由平面 $P E F \cap$ 平面 $A B C D=E F, P O \subset$ 平面 $P E F$ ，
所以 $P O \perp$ 平面 $A B C D$ ，
由题意可得：$P E=2 \sqrt{3}, P F=2, E F=4$ ，则 $P E^{2}+P F^{2}=E F^{2}$ ，即 $P E \perp P F$ ，
则 $\frac{1}{2} P E \cdot P F=\frac{1}{2} P O \cdot E F$ ，可得 $P O=\frac{P E \cdot P F}{E F}=\sqrt{3}$ ，
所以四棱锥的高为 $\sqrt{3}$ ．

当相对的棱长相等时，不妨设 $P A=P C=4, P B=P D=2 \sqrt{2}$ ，

因为 $B D=4 \sqrt{2}=P B+P D$ ，此时不能形成三角形 $P B D$ ，与题意不符，这样情况不存在．
故选：D．