已知四棱锥 P-A B C D, A D / / B C,…——2024 高考数学第 17 题答案解析

【答案】（1）证明见解析
（2）$\frac{\sqrt{30}}{30}$

## 【解析】

【分析】（1）取 $P D$ 的中点为 S ，接 $S F, S C$ ，可证四边形 $S F B C$ 为平行四边形，由线面平行的判定定理可得 $B F / /$ 平面 $P C D$ ．
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面 $A P B$ 和平面 $P C D$ 的法向量后可求夹角的余弦值．
【小问 1 详解】
取 $P D$ 的中点为 S ，接 $S F, S C$ ，则 $S F / / E D, S F=\frac{1}{2} E D=1$ ，
而 $E D / / B C, E D=2 B C$ ，故 $S F / / B C, S F=B C$ ，故四边形 $S F B C$ 为平行四边形，
故 $B F / / S C$ ，而 $B F \not \subset$ 平面 $P C D, S C \subset$ 平面 $P C D$ ，
所以 $B F / /$ 平面 $P C D$ ．

## 【小问 2 详解】

因为 $E D=2$ ，故 $A E=1$ ，故 $A E / / B C, A E=B C$ ，

故四边形 $A E C B$ 为平行四边形，故 $C E / / A B$ ，所以 $C E \perp$ 平面 $P A D$ ，

而 $P E, E D \subset$ 平面 $P A D$ ，故 $C E \perp P E, C E \perp E D$ ，而 $P E \perp E D$ ，

故建立如图所示的空间直角坐标系，
则 $A(0,-1,0), B(1,-1,0), C(1,0,0), D(0,2,0), P(0,0,2)$ ，
则 $\overrightarrow{P A}=(0,-1,-2), \overrightarrow{P B}=(1,-1,-2), \overrightarrow{P C}=(1,0,-2), \overrightarrow{P D}=(0,2,-2)$ ，

设平面 $P A B$ 的法向量为 $\vec{m}=(x, y, z)$ ，
则由 $\left\{\begin{array}{l}\vec{m} \cdot \overrightarrow{P A}=0 \\ \vec{m} \cdot \overrightarrow{P B}=0\end{array}\right.$ 可得 $\left\{\begin{array}{l}-y-2 z=0 \\ x-y-2 z=0\end{array}\right.$ ，取 $\vec{m}=(0,-2,1)$ ，
设平面 $P C D$ 的法向量为 $\vec{n}=(a, b, c)$ ，
则由 $\left\{\begin{array}{l}\vec{n} \cdot \overrightarrow{P C}=0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{P D}=0\end{array}\right.$ 可得 $\left\{\begin{array}{l}a-2 b=0 \\ 2 b-2 c=0\end{array}\right.$ ，取 $\vec{n}=(2,1,1)$ ，
故 $\cos \vec{m}, \vec{n}=\frac{-1}{\sqrt{5} \times \sqrt{6}}=-\frac{\sqrt{30}}{30}$ ，

故平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{30}}{30}$