已知 α [ π 6 , π 3 ]，且 α 与 β 的终…——2024 高考数学第 12 题答案解析

【答案】 $-\frac{1}{2} \# \#-0.5$

## 【解析】

【分析】首先得出 $\beta=\alpha+\pi+2 k \pi, k \in \mathrm{Z}$ ，结合三角函数单调性即可求解最值．
【详解】由题意 $\beta=\alpha+\pi+2 k \pi, k \in \mathrm{Z}$ ，从而 $\cos \beta=\cos (\alpha+\pi+2 k \pi)=-\cos \alpha$ ，
因为 $\alpha \in\left[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\right]$ ，所以 $\cos \alpha$ 的取值范围是 $\left[\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right], \cos \beta$ 的取值范围是 $\left[-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}\right]$ ，
当且仅当 $\alpha=\frac{\pi}{3}$ ，即 $\beta=\frac{4 \pi}{3}+2 k \pi, k \in \mathrm{Z}$ 时， $\cos \beta$ 取得最大值，且最大值为 $-\frac{1}{2}$ ．
故答案为：$-\frac{1}{2}$ ．