2025_上海卷 (2025)
21．已知函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$ ．对于正实数 a ，定义集合 $M_{a}=\{x \mid f(x+a)=f(x)\}$ ．
（1）若 $f(x)=\sin x$ ，判断 $\frac{\pi}{3}$ 是否是 $M_{\pi}$ 中的元素，并说明理由；
（2）若 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x+2, & x<0 \\ \sqrt{x}, & x \geq 0\end{array}, \quad M_{a} \neq \varnothing\right.$ ，求 a 的取值范围；
③设 $y=f(x)$ 是偶函数，当 $x \in(0,1]$ 时，$f(x)=1-x$ ，且对任意 $a \in(0,2)$ ，均有$M_{a} \subseteq M_{2}$ ．写出 $y=f(x), x \in(1,2)$ 的解析式，并证明：对任意实数 c ，函数 $y=f(x)-c$在 $[-3,3]$ 上至多有 9 个零点．
(1) 见解析; (2) 见解析; (3) 见解析
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析
【解析】①由题意，$M_{\pi}=\{x \mid f(x+\pi)=f(x), x \in R\}$ ，当 $x=\frac{\pi}{3}$ 时，
$f\left(\frac{4 \pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}, f\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2} \neq f\left(\frac{4 \pi}{3}\right)$ ，故 $\frac{\pi}{3}$ 不属于 $M_{\pi}$ 。
（2）当 $x \geq 0$ 时，$f^{\prime}(x)=\frac{1}{2 \sqrt{x}}=1 \Rightarrow x=\frac{1}{4}$ ，此时 $f\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{2}$ ，
故 $y=x+b$ 与 $y=\sqrt{x}$ 相切于 $\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right)$ ，令 $x+2=\frac{1}{2} \Rightarrow x=-\frac{3}{2}$ ，此时 $a_{\text {min }}=\frac{7}{4}$
当 $f(x)=0$ 时，$x_{1}=-2, x_{2}=0$ ，当 $f(x)=2$ 时，$x=4$ ，故 $a_{\text {max }}=4$ ，
综上，$a \in\left[\frac{7}{4}, 4\right)$ 。
③由题意，当 $a \in(0,2)$ 时，若 $f(x+a)=f(x)$ ，则必有 $f(x+2)=f(x)$ ，
由 $f(x)$ 为偶函数，故当 $x \in(-1,0)$ 时，易得 $f(x)=x+1$ ，
任取 $x_{0} \in(-1,0)$ ，则必有 $-x_{0} \in(0,1)$ 使 $f\left(-x_{0}\right)=f\left(x_{0}\right)$ ，
即满足 $a \in(0,2)$ 时，任意的 $x_{0} \in(-1,0)$ 皆满足 $f(x+a)=f(x)$ ，
即任意的 $x_{0} \in(-1,0), f(x+2)=f(x)$ ，
故 $x \in(1,2)$ 时，易得 $f(x)=x-1$ ；
同理可得当 $x \in(2,3]$ 时，$f(x)=-x+3$ ，
由 $f(x)$ 为偶函数，易得 $x \in[-3,-2)$ 时，$f(x)=x+3, x \in(-2,-1]$ 时，$f(x)=-x-1$ ，
由 $f(-2), f(0), f(2)$ 仅有 $f(-2)=f(2)$ 的限制，函数值可任取，
故当 $c \in(0,1)$ 时，$y=f(x)-c$ 在 $[-3,3]$ 内可最多取 $6+3=9$ 个零点，
故对任意的实数 $c$ ，函数 $y=f(x)-c$ 在［－3，3］上至多有9个零点．