实数 a, b 满足 a+b ≥ 3 ． （1）证明： 2…——2024 高考数学第 20 题答案解析

【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）直接利用 $2 a^{2}+2 b^{2} \geq(a+b)^{2}$ 即可证明．
（2）根据绝对值不等式并结合（1）中结论即可证明．

【小问 1 详解】

因为 $2 a^{2}+2 b^{2}-(a+b)^{2}=a^{2}-2 a b+b^{2}=(a-b)^{2} \geq 0$ ，

当 $a=b$ 时等号成立，则 $2 a^{2}+2 b^{2} \geq(a+b)^{2}$ ，

因为 $a+b \geq 3$ ，所以 $2 a^{2}+2 b^{2} \geq(a+b)^{2}>a+b$ ；

【小问 2 详解】

$\left|a-2 b^{2}\right|+\left|b-2 a^{2}\right| \geq\left|a-2 b^{2}+b-2 a^{2}\right|=\left|2 a^{2}+2 b^{2}-(a+b)\right|$
$=2 a^{2}+2 b^{2}-(a+b) \geq(a+b)^{2}-(a+b)=(a+b)(a+b-1) \geq 3 \times 2=6$