若集合 (x, y) y=x+t (x^ 2 -x ),…——2024 高考数学第 10 题答案解析

【答案】C
【解析】
【分析】先以 $t$ 为变量，分析可知所求集合表示的图形即为平面区域 $\left\{\begin{array}{l}y \leq x^{2} \\ y \geq x \\ 1 \leq x \leq 2\end{array}\right.$ ，结合图形分析求解即可．

【详解】对任意给定 $x \in[1,2]$ ，则 $x^{2}-x=x(x-1) \geq 0$ ，且 $t \in[0,1]$ ，
可知 $x \leq x+t\left(x^{2}-x\right) \leq x+x^{2}-x=x^{2}$ ，即 $x \leq y \leq x^{2}$ ，
再结合 $x$ 的任意性，所以所求集合表示的图形即为平面区域 $\left\{\begin{array}{l}y \leq x^{2} \\ y \geq x \\ 1 \leq x \leq 2\end{array}\right.$ ，
如图阴影部分所示，其中 $A(1,1), B(2,2), C(2,4)$ ，

可知任意两点间距离最大值 $d=|A C|=\sqrt{10}$ ；
阴影部分面积 $S<S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} \times 1 \times 2=1$ ．
故选：C．
【点睛】方法点睛：数形结合的重点是＂以形助数＂，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维。使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解。