已知 f(x)=2|x|+|x-2| ． （1）求不等式…——2023 高考数学第 23 题答案解析

【答案】①$[-2,2]$ ；
（2） 6 ．

【解析】

【分析】（1）分段去绝对值符号求解不等式作答．

（2）作出不等式组表示的平面区域，再求出面积作答．

【小问 1 详解】

依题意，$f(x)=\left\{\begin{array}{l}3 x-2, x>2 \\ x+2,0 \leq x \leq 2, \\ -3 x+2, x<0\end{array}\right.$
不等式 $f(x) \leq 6-x$ 化为：$\left\{\begin{array}{l}x>2 \\ 3 x-2 \leq 6-x\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}0 \leq x \leq 2 \\ x+2 \leq 6-x\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}x<0 \\ -3 x+2 \leq 6-x\end{array}\right.$ ，
解 $\left\{\begin{array}{l}x>2 \\ 3 x-2 \leq 6-x\end{array}\right.$ ，得无解；解 $\left\{\begin{array}{l}0 \leq x \leq 2 \\ x+2 \leq 6-x\end{array}\right.$ ，得 $0 \leq x \leq 2$ ，解 $\left\{\begin{array}{l}x<0 \\ -3 x+2 \leq 6-x\end{array}\right.$ ，得 $-2 \leq x<0$ ，因此 $-2 \leq x \leq 2$,

所以原不等式的解集为：［－2，2］

【小问 2 详解】

作出不等式组 $\left\{\begin{array}{l}f(x) \leq y \\ x+y-6 \leq 0\end{array}\right.$ 表示的平面区域，如图中阴影 $\triangle A B C$ ，

由 $\left\{\begin{array}{l}y=-3 x+2 \\ x+y=6\end{array}\right.$ ，解得 $A(-2,8)$ ，由 $\left\{\begin{array}{l}y=x+2 \\ x+y=6\end{array}\right.$ 解得 $C(2,4)$ ，又 $B(0,2), D(0,6)$ ，
所以 $\triangle A B C$ 的面积 $S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2}|B D| \times\left|x_{C}-x_{A}\right|=\frac{1}{2}|6-2| \times|2-(-2)|=8$ ．