如图，四棱锥 P-A B C D 中， P A 底面 A…——2024 高考数学第 17 题答案解析

【答案】（1）证明见解析
②$\sqrt{3}$

## 【解析】

【分析】（1）先证出 $A D \perp$ 平面 $P A B$ ，即可得 $A D \perp A B$ ，由勾股定理逆定理可得 $B C \perp A B$ ，从而 $A D / / B C$ ，再根据线面平行的判定定理即可证出；
（2）过点 $D$ 作 $D E \perp A C$ 于 $E$ ，再过点 $E$ 作 $E F \perp C P$ 于 $F$ ，连接 $D F$ ，根据三垂线法可知，$\angle D F E$ 即为二面角 $A-C P-D$ 的平面角，即可求得 $\tan \angle D F E=\sqrt{6}$ ，再分别用 $A D$ 的长度表示出 $D E, E F$ ，即可解方程求出 $A D$ ．

【小问 1 详解】
（1）因为 $P A \perp$ 平面 $A B C D$ ，而 $A D \subset$ 平面 $A B C D$ ，所以 $P A \perp A D$ ，
又 $A D \perp P B, P B \cap P A=P, P B, P A \subset$ 平面 $P A B$ ，所以 $A D \perp$ 平面 $P A B$ ，
而 $A B \subset$ 平面 $P A B$ ，所以 $A D \perp A B$ ．
因为 $B C^{2}+A B^{2}=A C^{2}$ ，所以 $B C \perp A B$ ，根据平面知识可知 $A D / / B C$ ，
又 $A D \not \subset$ 平面 $P B C, B C \subset$ 平面 $P B C$ ，所以 $A D / /$ 平面 $P B C$ ．
【小问 2 详解】
如图所示，过点 $D$ 作 $D E \perp A C$ 于 $E$ ，再过点 $E$ 作 $E F \perp C P$ 于 $F$ ，连接 $D F$ ，
因为 $P A \perp$ 平面 $A B C D$ ，所以平面 $P A C \perp$ 平面 $A B C D$ ，而平面 $P A C \cap$ 平面 $A B C D=A C$ ，
所以 $D E \perp$ 平面 $P A C$ ，又 $E F \perp C P$ ，所以 $C P \perp$ 平面 $D E F$ ，
根据二面角的定义可知，$\angle D F E$ 即为二面角 $A-C P-D$ 的平面角，
即 $\sin \angle D F E=\frac{\sqrt{42}}{7}$ ，即 $\tan \angle D F E=\sqrt{6}$ ．
因为 $A D \perp D C$ ，设 $A D=x$ ，则 $C D=\sqrt{4-x^{2}}$ ，由等面积法可得，$D E=\frac{x \sqrt{4-x^{2}}}{2}$ ，
又 $C E=\sqrt{\left(4-x^{2}\right)-\frac{x^{2}\left(4-x^{2}\right)}{4}}=\frac{4-x^{2}}{2}$ ，而 $\triangle E F C$ 为等腰直角三角形，所以 $E F=\frac{4-x^{2}}{2 \sqrt{2}}$ ，
故 $\tan \angle D F E=\frac{\frac{x \sqrt{4-x^{2}}}{2}}{\frac{4-x^{2}}{2 \sqrt{2}}}=\sqrt{6}$ ，解得 $x=\sqrt{3}$ ，即 $A D=\sqrt{3}$ ．