2025_上海卷 (2025)
20．已知椭圆 $\Gamma: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{5}=1(a>\sqrt{5}), M(0, m)(m>0), \mathrm{A}$ 是 $\Gamma$ 的右顶点．
（1）若 $\Gamma$ 的焦点是 $(2,0)$ ，求离心率 e ；
（2）若 $a=4$ ，且 $\Gamma$ 上存在一点 P ，满足 $\overrightarrow{P A}=2 \overrightarrow{M P}$ ，求 m；
（3）若 AM 中垂线 1 的斜率为 2 ， 1 与 $\Gamma$ 交于 $\mathrm{C} , \mathrm{D}$ 两点，$\angle C M D$ 为针角，求 a 的取值范围．
(1) 见解析; (2) 见解析; (3) 见解析
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析
【解析】①由题意，$c=2$ ，故 $a=\sqrt{5+4}=3$ ，故 $e=\frac{c}{a}=\frac{2}{3}$ ；
②由题意，$A(4,0)$ 不妨设 $P\left(x_{P}, y_{P}\right)$ ，故 $\overrightarrow{M P}=\left(x_{P}, y_{P}-m\right), \overrightarrow{P A}=\left(4-x_{P},-y_{P}\right)$ ，
由 $2 \overrightarrow{M P}=\overrightarrow{P A}$ 得，$\left\{\begin{array}{l}2 x_{p}=4-x_{P} \\ 2 y_{p}-2 m=-y_{P}\end{array}\right.$ ，即 $\left\{\begin{array}{l}x_{P}=\frac{4}{3} \\ y_{P}=\frac{2 m}{3}\end{array}\right.$ ，故 $P\left(\frac{4}{3}, \frac{2 m}{3}\right)$ ，
由 $P$ 在椭圆上，故 $\frac{\left(\frac{4}{3}\right)^{2}}{16}+\frac{\left(\frac{2 m}{3}\right)^{2}}{5}=1$ ，解得 $m=\sqrt{10}$（负根舍）。
（3）由题意，$A M$ 斜率为 $-\frac{1}{2}$ ，故 $|O A|=2|O M| \Rightarrow a=2 m$ ，
不妨设 $A M$ 中点为 $Q\left(m, \frac{m}{2}\right)$ ，设 $C\left(x_{1}, y_{1}\right), D\left(x_{2}, y_{2}\right)$
则 $l$ 方程为 $y=2(x-m)+\frac{m}{2}=2 x-\frac{3}{2} m$ ，
$\left\{\begin{array}{l}y=2 x-\frac{3}{2} m \\ \frac{x^{2}}{4 m^{2}}+\frac{y^{2}}{5}=1\end{array} \Rightarrow\left(16 m^{2}+5\right) x^{2}-24 m^{3} x+9 m^{4}-20 m^{2}=0, \Delta>0,\left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}=\frac{24 m^{3}}{16 m^{2}+5} \\ x_{1} x_{2}=\frac{9 m^{4}-20 m^{2}}{16 m^{2}+5}\end{array}\right.\right.$,
故 $\overrightarrow{M C}=\left(x_{1}, y_{1}-m\right)=\left(x_{1}, 2 x_{1}-\frac{5}{2} m\right), \overrightarrow{M D}=\left(x_{2}, 2 x_{2}-\frac{5}{2} m\right)$ ，
由 $\angle C M D$ 为针角，
故 $\overrightarrow{M C} \cdot \overrightarrow{M D}=x_{1} x_{2}+\left(2 x_{1}-\frac{5}{2} m\right) \cdot\left(2 x_{2}-\frac{5}{2} m\right)=5 x_{1} x_{2}-5 m\left(x_{1}+x_{2}\right)+\frac{25}{4} m^{2}<0$ ，
$5 \cdot \frac{9 m^{4}-20 m^{2}}{16 m^{2}+5}-5 m \cdot \frac{24 m^{3}}{16 m^{2}+5}+\frac{25}{4} m^{2}=\frac{25 m^{4}-\frac{275}{4} m^{2}}{16 m^{2}+5}<0$ ，
故 $m<\frac{\sqrt{11}}{2}$ ，即 $a=2 m<\sqrt{11}$ ，
由 $a>\sqrt{5}$ 得，$a \in(\sqrt{5}, \sqrt{11})$ ．