（4分）已知正方形 ABCD 的边长为2， E 为 CD…——2013 高考数学第 14 题答案解析

【考点】90：平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】 5 A ：平面向量及应用．
【分析】根据两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，可得要求的式子为 $\left(\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB}}\right) \cdot(\overrightarrow{\mathrm{AD}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}})$ ，再根据两个向量垂直的性质，运算求得结果。

【解答】解：∵ 已知正方形 ABCD 的边长为 2 ， E 为 CD 的中点，则 $\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}=0$ ，故 $\overrightarrow{\mathrm{AE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BD}}=(\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{DE}}) \cdot(\overrightarrow{\mathrm{BA}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}})=\left(\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB}}\right) \cdot(\overrightarrow{\mathrm{AD}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}})=\overrightarrow{\mathrm{AD}}^{2}-\overrightarrow{\mathrm{AD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}+$

$$ \frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}-\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB}}^{2}=4+0-0-\frac{1}{2} \times 4=2 $$

故答案为 2 ．
【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量垂直的性质，属于中档题．