（5分）已知函数 f(x)=x^ 3 +a x^ 2 +b…——2013 高考数学第 11 题答案解析

【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．
【专题】16：压轴题；53：导数的综合应用．
【分析】对于 $A$ ，对于三次函数 $f(x$

$=x^{3}+a x^{2}+b x+c$ ，由于当 $x \rightarrow-\infty$ 时，$y \rightarrow-\infty$ ，当 $x \rightarrow+\infty$ 时，$y \rightarrow+\infty$ ，故在区间 $(-\infty,+\infty)$ 肯定存在零点；

对于 B ，根据对称变换法则，求出对应中心坐标，可以判断；
对于 $C$ ：采用取特殊函数的方法，若取 $a=-1, b=-1, c=0$ ，则 $f(x)=x^{3}-x^{2}-x$ ，利用导数研究其极值和单调性进行判断；

D：若 $x_{0}$ 是 $f(x)$ 的极值点，根据导数的意义，则 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0$ ，正确．
【解答】解：
A、对于三次函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{3}+\mathrm{ax}^{2}+\mathrm{bx}+\mathrm{c}$ ，
A：由于当 $x \rightarrow-\infty$ 时，$y \rightarrow-\infty$ ，当 $x \rightarrow+\infty$ 时，$y \rightarrow+\infty$ ，
故 $\exists x_{0} \in R, f\left(x_{0}\right)=0$ ，故A正确；
B、 $\because f\left(-\frac{2 a}{3}-x\right)+f(x)=\left(-\frac{2 a}{3}-x\right)^{3}+a\left(-\frac{2 a}{3}-x\right)^{2}+b\left(-\frac{2 a}{3}-x\right)+c+x^{3}+ a x^{2}+b x+c=\frac{4 a^{3}}{27}-\frac{2 a b}{3}+2 c$,
$f\left(-\frac{a}{3}\right)=\left(-\frac{a}{3}\right)^{3}+a\left(-\frac{a}{3}\right)^{2}+b\left(-\frac{a}{3}\right)+c=\frac{2 a^{3}}{27}-\frac{a b}{3}+c$ ，
$\because f\left(-\frac{2 a}{3}-x\right)+f(x)=2 f\left(-\frac{a}{3}\right)$ ，
∴ 点 $\mathrm{P}\left(-\frac{\mathrm{a}}{3}, \mathrm{f}\left(-\frac{\mathrm{a}}{3}\right)\right)$ 为对称中心，故B正确．
C、若取 $a=-1, b=-1, c=0$ ，则 $f(x)=x^{3}-x^{2}-x$ ，
对于 $f(x)=x^{3}-x^{2}-x, \because f^{\prime}(x)=3 x^{2}-2 x-1$
$\therefore$ 由 $f^{\prime}(x)=3 x^{2}-2 x-1>0$ 得 $x \in\left(-\infty,-\frac{1}{3}\right) \cup(1,+\infty)$
由 $f^{\prime}(x)=3 x^{2}-2 x-1<0$ 得 $x \in\left(-\frac{1}{3}, 1\right)$
∴ 函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的单调增区间为：$\left(-\infty,-\frac{1}{3}\right),(1,+\infty)$ ，减区间为：$\left(-\frac{1}{3}\right.$ ，1），

故1是 $f(x)$ 的极小值点，但 $f(x$
）在区间 $(-\infty, 1)$ 不是单调递减，故C错误；
D：若 $x_{0}$ 是 $f(x)$ 的极值点，根据导数的意义，则 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0$ ，故D正确．
由于该题选择错误的，故选：C．

【点评】本题考查了导数在求函数极值中的应用，利用导数求函数的单调区间 ，及导数的运算．