设点 P 在单位圆的内接正八边形 A_ 1 A_ 2 A_…——2022 高考数学第 17 题答案解析

【答案】 $[12+2 \sqrt{2}, 16]$

【解析】

【分析】根据正八边形的结构特征，分别以圆心为原点，$A_{7} A_{3}$ 所在直线为 $x$ 轴，$A_{5} A_{1}$ 所在直线为 $y$ 轴建立平面直角坐标系，即可求出各顶点的坐标，设 $P(x, y)$ ，再根据平面向量模的坐标计算公式即可得到 $\overrightarrow{P A}_{1}^{2}+\overrightarrow{P A}_{2}^{2}+\cdots+\overrightarrow{P A}_{8}^{2}=8\left(x^{2}+y^{2}\right)+8$ ，然后利用 $\cos 22.5^{\circ} \leq|O P| \leq 1$ 即可解出．

【详解】以圆心为原点，$A_{7} A_{3}$ 所在直线为 $x$ 轴，$A_{5} A_{1}$ 所在直线为 $y$ 轴建立平面直角坐标系，如图所示：

则 $A_{1}(0,1), A_{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right), A_{3}(1,0), A_{4}\left(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right), A_{5}(0,-1), A_{6}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right), A_{7}(-1,0)$ ，
$A_{8}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ ，设 $P(x, y)$ ，于是 $\overrightarrow{P A}_{1}^{2}+\overrightarrow{P A}_{2}^{2}+\cdots+\overrightarrow{P A}_{8}^{2}=8\left(x^{2}+y^{2}\right)+8$ ，
因为 $\cos 22.5^{\circ} \leq|O P| \leq 1$ ，所以 $\frac{1+\cos 45^{\circ}}{2} \leq x^{2}+y^{2} \leq 1$ ，故 $\overrightarrow{P A}_{1}^{2}+\overrightarrow{P A}_{2}^{2}+\cdots+\overrightarrow{P A}_{8}^{2}$ 的取值范围是 $[12+2 \sqrt{2}, 16]$.

故答案为：$[12+2 \sqrt{2}, 16]$ ．