2022_上海卷 (2022)
18．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分．
设有无穷数列 $\{\mathrm{a}$.$\} ,记 \{\mathrm{a}\}$ 的前 n 项和为 S ，其中 $\mathrm{a}_{2}=1$
（1）若 $\{\mathrm{a}$,$\} 为等比数列,且 \mathrm{S}_{2}=3$ ，求く $\lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}$
（2）若 $\{a$,$\} 为等差数列,且 \mathrm{S}_{2} \geq \mathrm{n}$ ，求公差 d 的取值范围．
【解析】
①$a_{2}=1, S_{2}=a_{1}+a_{2}=3 \Rightarrow a_{1}=2 \Rightarrow q=\frac{1}{2}, \lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}=\frac{a_{1}}{1-q}=\frac{2}{1-\frac{1}{2}}=4$ ；
②$\quad S_{2 n}=\frac{\left(a_{1}+a_{2 n}\right) 2 n}{2}=n\left(a_{2}+a_{2 n-1}\right)=n[1+1+(2 n-3) d] \geq n \Rightarrow(2 n-3) d \geq-1$ ，当 $\mathrm{n}=1=\mathrm{d} \leq 1 ; \quad$ 当 $n \geq 2, d \geq \frac{-1}{2 n-3} \Rightarrow d \geq 0 \Rightarrow d \in[0,1]$ ．
19．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分．
上海某地区想设计建造一个自然保护区，如图所示，在一块矩形绿地 ABCD 中（其 中 AB 为 30 米， AD 为 15 米），过道 EF 将其分为两个主要区域（ $\mathrm{E}, \mathrm{F}$ 分别是 $\mathrm{AB}, \mathrm{CD}$ 边上动点），监测区为以 D 为圆心， AD 为半径的四分之一圆，古树区为四边形 BEFC ，且 EF 与圆弧相切，记切点为 G ．
（1）若 $\angle \mathrm{ADE}=20^{\circ}$ ，求 EF 的长（结果精确到 0.1 ）；
② E 点在线段 AB 上何处时，才能使古树区的面积最大，并求出最大值（结果精确到 0.01 ），如图所示： $\mathrm{DG} \perp \mathrm{EF}, \mathrm{FH} \perp \mathrm{AB}$
【解析】
设角 $\angle \mathrm{DFE}=\theta$ ，则 $D F=\frac{D G}{\sin \theta}=\frac{15}{\sin \theta}, F C=30-\frac{15}{\sin \theta}, E H=\frac{15}{\tan \theta}=\frac{15 \cos \theta}{\sin \theta}$ ，
则 $S_{\text {（河）}}=\frac{1}{2}(F C+B E) B C=\frac{15}{2}(2 F C+E H)=\frac{15}{2}\left(60-\frac{30}{\sin \theta}+\frac{15 \cos \theta}{\sin \theta}\right)$
$=\frac{15}{2}\left[60-15\left(\frac{2-\cos \theta}{8 \sin \theta}\right)\right]$
令 $f(\theta)=\frac{2-\cos \theta}{\sin \theta}=m \Rightarrow 2-\cos =m \sin \theta$ ，
$2=\cos \theta+m \sin 0=\sqrt{ } m^{2}+1 \sin 0+\varphi \leq \sqrt{ } m^{2}+1 \rightarrow m \geq \sqrt{ } 3$,
则 $S_{\text {max }}=\frac{15}{2}(60-15 \sqrt{3})$ ．