已知 (x_ 1 , y_ 1 ), (x_ 2 , y_…——2024 高考数学第 9 题答案解析

【答案】A
【解析】
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断 AB；举例判断 CD 即可。
【详解】由题意不妨设 $x_{1}<x_{2}$ ，因为函数 $y=2^{x}$ 是增函数，所以 $0<2^{x_{1}}<2^{x_{2}}$ ，即 $0<y_{1}<y_{2}$ ，

对于选项 AB ：可得 $\frac{2^{x_{1}}+2^{x_{2}}}{2}>\sqrt{2^{x_{1}} \cdot 2^{x_{2}}}=2^{\frac{x_{1}+x_{2}}{2}}$ ，即 $\frac{y_{1}+y_{2}}{2}>2^{\frac{x_{1}+x_{2}}{2}}>0$ ，

根据函数 $y=\log _{2} x$ 是增函数，所以 $\log _{2} \frac{y_{1}+y_{2}}{2}>\log _{2} 2^{\frac{x_{1}+x_{2}}{2}}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}$ ，故 A 正确，B 错误；

对于选项 C：例如 $x_{1}=0, x_{2}=1$ ，则 $y_{1}=1, y_{2}=2$ ，
可得 $\log _{2} \frac{y_{1}+y_{2}}{2}=\log _{2} \frac{3}{2} \in(0,1)$ ，即 $\log _{2} \frac{y_{1}+y_{2}}{2}<1=x_{1}+x_{2}$ ，故 C 错误；
对于选项 D：例如 $x_{1}=-1, x_{2}=-2$ ，则 $y_{1}=\frac{1}{2}, y_{2}=\frac{1}{4}$ ，
可得 $\log _{2} \frac{y_{1}+y_{2}}{2}=\log _{2} \frac{3}{8}=\log _{2} 3-3 \in(-2,-1)$ ，即 $\log _{2} \frac{y_{1}+y_{2}}{2}>-3=x_{1}+x_{2}$ ，故 D 错误，
故选：A．