2016_新课标 I 卷 (2016·文)
23．在直角坐标系xOy中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=a \cos t \\ y=1+a \sin t\end{array}\right.$（ $t$ 为参数，$a>0$ ） －在以坐标原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 $\mathrm{C}_{2}: \rho=4 \cos \theta$
（I）说明 $\mathrm{C}_{1}$ 是哪种曲线，并将 $\mathrm{C}_{1}$ 的方程化为极坐标方程；
（II）直线 $\mathrm{C}_{3}$ 的极坐标方程为 $\theta=\alpha_{0}$ ，其中 $\alpha_{0}$ 满足 $\tan \alpha_{0}=2$ ，若曲线 $\mathrm{C}_{1}$ 与 $\mathrm{C}_{2}$ 的公共点都在 $\mathrm{C}_{3}$ 上，求 a ．
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程； QE ：参数方程的概念．
【专题】11：计算题；35：转化思想；4A：数学模型法；5S：坐标系和参数方程．
【分析】（I）把曲线 $\mathrm{C}_{1}$ 的参数方程变形，然后两边平方作和即可得到普通方程，可知曲线 $C_{1}$ 是圆，化为一般式，结合 $x^{2}+y^{2}=\rho^{2}, y=\rho \sin \theta$ 化为极坐标方程 ；
（II）化曲线 $C_{2} , C_{3}$ 的极坐标方程为直角坐标方程，由条件可知 $y=x$ 为圆 $C_{1}$ 与 $C_{2}$的公共弦所在直线方程，把 $\mathrm{C}_{1}$ 与 $\mathrm{C}_{2}$ 的方程作差，结合公共弦所在直线方程为 y $=2 x$ 可得 $1-a^{2}=0$ ，则 $a$ 值可求．
【解答】解：（I ）由 $\left\{\begin{array}{l}x=a \cos t \\ y=1+a \sin t\end{array}\right.$ ，得 $\left\{\begin{array}{l}x=a \cos t \\ y-1=a \sin t\end{array}\right.$ ，两式平方相加得，$x^{2}+(y$ －1）${ }^{2}=a^{2}$ ．
$\therefore \mathrm{C}_{1}$ 为以（ 0,1 ）为圆心，以 a 为半径的圆．
化为一般式：$x^{2}+y^{2}-2 y+1-a^{2}=0$ ．①
由 $x^{2}+y^{2}=\rho^{2}, y=\rho \sin \theta$ ，得 $\rho^{2}-2 \rho \sin \theta+1-a^{2}=0$ ；
（II） $\mathrm{C}_{2}: \rho=4 \cos \theta$ ，两边同时乘 $\rho$ 得 $\rho^{2}=4 \rho \cos \theta$ ，
$\therefore \mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}=4 \mathrm{x}$ ，
即 $(x-2)^{2}+y^{2}=4$ ．
由 $\mathrm{C}_{3}: \theta=\alpha_{0}$ ，其中 $\alpha_{0}$ 满足 $\tan \alpha_{0}=2$ ，得 $\mathrm{y}=2 \mathrm{x}$ ，
∵ 曲线 $\mathrm{C}_{1}$ 与 $\mathrm{C}_{2}$ 的公共点都在 $\mathrm{C}_{3}$ 上，
$\therefore y=2 x$ 为圆 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的公共弦所在直线方程，
①－②得： $4 x-2 y+1-a^{2}=0$ ，即为 $C_{3}$ ，
$\therefore 1-\mathrm{a}^{2}=0$ ，
$\therefore a=1 \quad(a>0)$ ．
【点评】本题考查参数方程即简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，训练了两圆公共弦所在直线方程的求法，是基础题．