记 A B C 的内角 A, B, C 的对边分别为 a,…——2023 高考数学第 17 题答案解析

【答案】（1）1
②$\frac{\sqrt{3}}{4}$

## 【解析】

【分析】（1）根据余弦定理即可解出；
（2）由（1）可知，只需求出 $\sin A$ 即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出。
【小问 1 详解】
因为 $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos A$ ，所以 $\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{\cos A}=\frac{2 b c \cos A}{\cos A}=2 b c=2$ ，解得：$b c=1$ ．

## 【小问 2 详解】

由正弦定理可得 $\frac{a \cos B-b \cos A}{a \cos B+b \cos A}-\frac{b}{c}=\frac{\sin A \cos B-\sin B \cos A}{\sin A \cos B+\sin B \cos A}-\frac{\sin B}{\sin C}$
$=\frac{\sin (A-B)}{\sin (A+B)}-\frac{\sin B}{\sin (A+B)}=\frac{\sin (A-B)-\sin B}{\sin (A+B)}=1$,
变形可得： $\sin (A-B)-\sin (A+B)=\sin B$ ，即 $-2 \cos A \sin B=\sin B$ ，
而 $0<\sin B \leqslant 1$ ，所以 $\cos A=-\frac{1}{2}$ ，又 $0故 $\triangle A B C$ 的面积为 $S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} b c \sin A=\frac{1}{2} \times 1 \times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}$ ．