2024_北京卷 (2024)
16．在 $\triangle A B C$ 中，$a=7, A$ 为钝角， $\sin 2 B=\frac{\sqrt{3}}{7} b \cos B$ ．
（1）求 $\angle A$ ；
（2）从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，求 $\triangle A B C$ 的面积．
①$b=7$ ；
② $\cos B=\frac{13}{14}$ ；
③$c \sin A=\frac{5}{2} \sqrt{3}$ ．
注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分。
【答案】①$A=\frac{2 \pi}{3}$ ；
（2）选择①无解；选择②和③$\triangle A B C$ 面积均为 $\frac{15 \sqrt{3}}{4}$ ．
## 【解析】
【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案；
（2）选择①，利用正弦定理得 $B=\frac{\pi}{3}$ ，结合①问答案即可排除；选择②，首先求出 $\sin B=\frac{3 \sqrt{3}}{14}$ ，再代入式子得 $b=3$ ，再利用两角和的正弦公式即可求出 $\sin C$ ，最后利用三角形面积公式即可；选择③，首先得到 $c=5$ ，再利用正弦定理得到 $\sin C=\frac{5 \sqrt{3}}{14}$ ，再利用两角和的正弦公式即可求出 $\sin B$ ，最后利用三角形面积公式即可；
## 【小问 1 详解】
由题意得 $2 \sin B \cos B=\frac{\sqrt{3}}{7} b \cos B$ ，因为 A 为针角，
则 $\cos B \neq 0$ ，则 $2 \sin B=\frac{\sqrt{3}}{7} b$ ，则 $\frac{b}{\sin B}=\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{7}}=\frac{a}{\sin A}=\frac{7}{\sin A}$ ，解得 $\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，
因为 A 为钝角，则 $A=\frac{2 \pi}{3}$ ．
【小问 2 详解】
选择①$b=7$ ，则 $\sin B=\frac{\sqrt{3}}{14} b=\frac{\sqrt{3}}{14} \times 7=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，因为 $A=\frac{2 \pi}{3}$ ，则 $B$ 为锐角，则 $B=\frac{\pi}{3}$ ，
此时 $A+B=\pi$ ，不合题意，舍弃；
选择② $\cos B=\frac{13}{14}$ ，因为 $B$ 为三角形内角，则 $\sin B=\sqrt{1-\left(\frac{13}{14}\right)^{2}}=\frac{3 \sqrt{3}}{14}$ ，
则代入 $2 \sin B=\frac{\sqrt{3}}{7} b$ 得 $2 \times \frac{3 \sqrt{3}}{14}=\frac{\sqrt{3}}{7} b$ ，解得 $b=3$ ，
$\sin C=\sin (A+B)=\sin \left(\frac{2 \pi}{3}+B\right)=\sin \frac{2 \pi}{3} \cos B+\cos \frac{2 \pi}{3} \sin B$
$=\frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{13}{14}+\left(-\frac{1}{2}\right) \times \frac{3 \sqrt{3}}{14}=\frac{5 \sqrt{3}}{14}$,
则 $S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} a b \sin C=\frac{1}{2} \times 7 \times 3 \times \frac{5 \sqrt{3}}{14}=\frac{15 \sqrt{3}}{4}$ ．
选择③$c \sin A=\frac{5}{2} \sqrt{3}$ ，则有 $c \times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{5}{2} \sqrt{3}$ ，解得 $c=5$ ，
则由正弦定理得 $\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$ ，即 $\frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{5}{\sin C}$ ，解得 $\sin C=\frac{5 \sqrt{3}}{14}$ ，
因为 $C$ 为三角形内角，则 $\cos C=\sqrt{1-\left(\frac{5 \sqrt{3}}{14}\right)^{2}}=\frac{11}{14}$ ，
则 $\sin B=\sin (A+C)=\sin \left(\frac{2 \pi}{3}+C\right)=\sin \frac{2 \pi}{3} \cos C+\cos \frac{2 \pi}{3} \sin C$
$=\frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{11}{14}+\left(-\frac{1}{2}\right) \times \frac{5 \sqrt{3}}{14}=\frac{3 \sqrt{3}}{14}$,
则 $S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} \operatorname{acsin} B=\frac{1}{2} \times 7 \times 5 \times \frac{3 \sqrt{3}}{14}=\frac{15 \sqrt{3}}{4}$