（本题满分12分）如图，在长方体ABCD－ A _ 1 ~…——2013 高考数学第 19 题答案解析

【解答】因为 $\mathrm{ABCD}-\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1} \mathrm{D}_{1}$ 为长方体，故 $A B / / C_{1} D_{1}, A B=C_{1} D_{1}$ ，故 $\mathrm{ABC}_{1} \mathrm{D}_{1}$ 为平行四边形，故 $B C_{1} / / A D_{1}$ ，显然 B 不在平面 $\mathrm{D}_{1} \mathrm{AC}$ 上，于是直线 $\mathrm{BC}_{1}$ 平行于平面 $\mathrm{DA}_{1} \mathrm{C}$ ；

直线 $\mathrm{BC}_{1}$ 到平面 $\mathrm{D}_{1} \mathrm{AC}$ 的距离即为点 B 到平面 $\mathrm{D}_{1} \mathrm{AC}$ 的距离设为

## h

$h$
考虑三棱锥 $\mathrm{ABCD}_{1}$ 的体积，以 ABC 为底面，可得 $V=\frac{1}{3} \times\left(\frac{1}{2} \times 1 \times 2\right) \times 1=\frac{1}{3}$
而 $\triangle A D_{1} C$ 中，$A C=D_{1} C=\sqrt{5}, A D_{1}=\sqrt{2}$ ，故 $S_{\triangle A D_{1} C}=\frac{3}{2}$
所以，$V=\frac{1}{3} \times \frac{3}{2} \times h=\frac{1}{3} \Rightarrow h=\frac{2}{3}$ ，即直线 $\mathrm{BC}_{1}$ 到平面 $\mathrm{D}_{1} \mathrm{AC}$ 的距离为 $\frac{2}{3}$ ．