已知 O 的半径为 1，直线 P A 与 O 相切于点 A…——2023 高考数学第 12 题答案解析

【答案】A
【解析】
【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得 $\overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P D} =\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2} \sin \left(2 \alpha-\frac{\pi}{4}\right)$ ，或 $\overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P D}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2} \sin \left(2 \alpha+\frac{\pi}{4}\right)$ 然后结合三角函数的性质即可确定 $\overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P D}$的最大值．

【详解】如图所示，$|O A|=1,|O P|=\sqrt{2}$ ，则由题意可知：$\angle A P O=45^{\circ}$ ，

由勾股定理可得 $P A=\sqrt{O P^{2}-O A^{2}}=1$

当点 $A, D$ 位于直线 $P O$ 异侧时，设 $\angle O P C=\alpha, 0 \leq \alpha \leq \frac{\pi}{4}$ ，
则： $\overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P D}=|\overrightarrow{P A}| \cdot|\overrightarrow{P D}| \cos \left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)$
$=1 \times \sqrt{2} \cos \alpha \cos \left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)$
$=\sqrt{2} \cos \alpha\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos \alpha-\frac{\sqrt{2}}{2} \sin \alpha\right)$
$=\cos ^{2} \alpha-\sin \alpha \cos \alpha$
$=\frac{1+\cos 2 \alpha}{2}-\frac{1}{2} \sin 2 \alpha$
$=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2} \sin \left(2 \alpha-\frac{\pi}{4}\right)$
$0 \leq \alpha \leq \frac{\pi}{4}$ ，则 $-\frac{\pi}{4} \leq 2 \alpha-\frac{\pi}{4} \leq \frac{\pi}{4}$
∴ 当 $2 \alpha-\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{4}$ 时， $\overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P D}$ 有最大值 1 ．

当点 $A, D$ 位于直线 $P O$ 同侧时，设 $\angle O P C=\alpha, 0 \leq \alpha \leq \frac{\pi}{4}$ ，

则： $\overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P D}=|\overrightarrow{P A}| \cdot|\overrightarrow{P D}| \cos \left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)$
$=1 \times \sqrt{2} \cos \alpha \cos \left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)$
$=\sqrt{2} \cos \alpha\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos \alpha+\frac{\sqrt{2}}{2} \sin \alpha\right)$
$=\cos ^{2} \alpha+\sin \alpha \cos \alpha$
$=\frac{1+\cos 2 \alpha}{2}+\frac{1}{2} \sin 2 \alpha$
$=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2} \sin \left(2 \alpha+\frac{\pi}{4}\right)$
$0 \leq \alpha \leq \frac{\pi}{4}$ ，则 $\frac{\pi}{4} \leq 2 \alpha+\frac{\pi}{4} \leq \frac{\pi}{2}$
∴ 当 $2 \alpha+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}$ 时， $\overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P D}$ 有最大值 $\frac{1+\sqrt{2}}{2}$ ．
综上可得， $\overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P D}$ 的最大值为 $\frac{1+\sqrt{2}}{2}$ ．
故选：A．
【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力．