设点 A(-2,3), B(0, a)，若直线 A B 关…——2022 高考数学第 15 题答案解析

【答案】 $\left[\frac{1}{3}, \frac{3}{2}\right]$

【解析】

【分析】首先求出点 A 关于 $y=a$ 对称点 $A^{\prime}$ 的坐标，即可得到直线 $l$ 的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；

【详解】解：$A(-2,3)$ 关于 $y=a$ 对称的点的坐标为 $A^{\prime}(-2,2 a-3), B(0, a)$ 在直线 $y=a$ 上，

所以 $A^{\prime} B$ 所在直线即为直线 $l$ ，所以直线 $l$ 为 $y=\frac{a-3}{-2} x+a$ ，即 $(a-3) x+2 y-2 a=0$ ；
圆 $C:(x+3)^{2}+(y+2)^{2}=1$ ，圆心 $C(-3,-2)$ ，半径 $r=1$ ，
依题意圆心到直线 $l$ 的距离 $d=\frac{|-3(a-3)-4-2 a|}{\sqrt{(a-3)^{2}+2^{2}}} \leq 1$ ，
即 $(5-5 a)^{2} \leq(a-3)^{2}+2^{2}$ ，解得 $\frac{1}{3} \leq a \leq \frac{3}{2}$ ，即 $a \in\left[\frac{1}{3}, \frac{3}{2}\right]$ ；
故答案为：$\left[\frac{1}{3}, \frac{3}{2}\right]$