2013_新课标 II 卷 (2013·文)
20．（12分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 $2 \sqrt{2}$ ，在 $y$ 轴上截得线段长为 $2 \sqrt{3}$ ．
（I）求圆心 P 的轨迹方程；
（II）若 P 点到直线 $\mathrm{y}=\mathrm{x}$ 的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，求圆 P 的方程．
【考点】J1：圆的标准方程；J3：轨迹方程．
【专题】15：综合题；16：压轴题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（ I ）由题意，可直接在弦心距、弦的一半及半径三者组成的直角三角形中利用勾股定理建立关于点 P 的横纵坐标的方程，整理即可得到所求的轨迹方程；
（II）由题，可先由点到直线的距离公式建立关于点 P 的横纵坐标的方程，将此方程与（I）所求的轨迹方程联立，解出点 P 的坐标，进而解出圆的半径即可写出圆 P 的方程．
【解答】解：（I）设圆心 $P(x, y)$ ，由题意得圆心到 $x$ 轴的距离与半径之间的关系为 $2=-y^{2}+r^{2}$ ，同理圆心到 $y$ 轴的距离与半径之间的关系为 $3=-x^{2}+r^{2}$ ，由两式整理得 $x^{2}+3=y^{2}+2$ ，整理得 $y^{2}-x^{2}=1$ 即为圆心 $P$ 的轨迹方程，此轨迹是等轴双曲线
（II）由 $P$ 点到直线 $y=x$ 的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 得，$\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{|x-y|}{\sqrt{2}}$ ，即 $|x-y|=1$ ，即 $x=y+1$ 或 $y= x+1$ ，分别代入 $y^{2}-x^{2}=1$ 解得 $P(0,-1)$ 或 $P(0,1)$
若 $\mathrm{P}(0,-1)$ ，此时点 P 在 y 轴上，故半径为 $\sqrt{3}$ ，所以圆 P 的方程为 $(\mathrm{y}+1)^{2}+\mathrm{x}^{2}$ ＝3；
若 $\mathrm{P}(0,1)$ ，此时点 P 在 y 轴上，故半径为 $\sqrt{3}$ ，所以圆 P 的方程为 $(\mathrm{y}-1)^{2}+\mathrm{x}^{2}=$ 3；
综上，圆 P 的方程为 $(\mathrm{y}+1)^{2}+\mathrm{x}^{2}=3$ 或 $(\mathrm{y}-1)^{2}+\mathrm{x}^{2}=3$
【点评】本题考查求轨迹方程的方法解析法及点的直线的距离公式、圆的标准方程与圆的性质，解题的关键是理解圆的几何特征，将几何特征转化为方程