（2013广东，文21）（本小题满分14分）设函数 f(x…——2013 高考数学第 21 题答案解析

【解答】
解：$f^{\prime}(x)=3 x^{2}-2 k x+1$ ，
（1）当 $k=1$ 时，
$f^{\prime}(x)=3 x^{2}-2 x+1, \quad \Delta=4-12=-8<0$,
$\therefore f^{\prime}(x)>0$ ，即 $f(x)$ 的单调递增区间为 $\mathbf{R}$ ．
（2）（方法一）当 $k<0$ 时，$f^{\prime}(x)=3 x^{2}-2 k x+1$ ，其开口向上，对称轴 $x=\frac{k}{3}$ ，且过 $(0,1)$ 。

（1）当 $\Delta=4 k^{2}-12=4(k+\sqrt{3})(k-\sqrt{3}) \leqslant 0$ ，
即 $-\sqrt{3} \leqslant k<0$ 时，$f^{\prime}(x) \geqslant 0, f(x)$ 在 $[k,-k]$ 上单调递增。
从而当 $x=k$ 时，$f(x)$ 取得最小值 $m=f(k)=k$ ；
当 $x=-k$ 时，$f(x)$ 取得最大值 $M=f(-k)=-k^{3}-k^{3}-k=-2 k^{3}-k$ 。
（2）当 $\Delta=4 k^{2}-12=4(k+\sqrt{3})(k-\sqrt{3})>0$ ，即 $k<-\sqrt{3}$ 时，
令 $f^{\prime}(x)=3 x^{2}-2 k x+1=0$ ，
解得：$x_{1}=\frac{k+\sqrt{k^{2}-3}}{3}, x_{2}=\frac{k-\sqrt{k^{2}-3}}{3}$ ，注意到 $k（注：可用韦达定理判断 $X_{1} \cdot X_{2}=\frac{1}{3}, X_{1}+X_{2}=\frac{2 k}{3}>k$ ，从而 $k$\therefore m=\min \left\{f(k), f\left(x_{1}\right)\right\}, M=\max \left\{f(-k), f\left(x_{2}\right)\right\}$ ．
$\because f\left(x_{1}\right)-f(k)=x_{1}^{3}-k x_{1}^{2}+x_{1}-k$
$=\left(x_{1}-k\right)\left(x_{1}^{2}+1\right)>0$ ，
$\therefore f(x)$ 的最小值 $m=f(k)=k$ ．
$\because f\left(x_{2}\right)-f(-k)=x_{2}{ }^{3}-k x_{2}{ }^{2}+x_{2}-\left(-k^{3}-k \cdot k^{2}-k\right)=\left(x_{2}+k\right)\left[\left(x_{2}-k\right)^{2}+k^{2}+1\right]<0$,
$\therefore f(x)$ 的最大值 $M=f(-k)=-2 k^{3}-k$ 。
综上所述，当 $k<0$ 时，$f(x)$ 的最小值 $m=f(k)=k$ ，最大值 $M=f(-k)=-2 k^{3}-k$ ．
（方法2）当 $k<0$ 时，对 $\forall x \in[k,-k]$ ，都有
$f(x)-f(k)=x^{3}-k x^{2}+x-k^{3}+k^{3}-k=\left(x^{2}+1\right)(x-k) \geqslant 0$ ，故 $f(x) \geqslant f(k)$ 。
$f(x)-f(-k)=x^{3}-k x^{2}+x+k^{3}+k^{3}+k=(x+k)\left(x^{2}-2 k x+2 k^{2}+1\right)=(x+k)\left[(x-k)^{2}+k^{2}+1\right] \leqslant 0$ ．
故 $f(x) \leqslant f(-k) . \because f(k)=k<0, f(-k)=-2 k^{3}-k>0$ ，
$\therefore f(x)_{\text {max }}=f(-k)=-2 k^{3}-k, \quad f(x)_{\text {min }}=f(k)=k$ 。