如图，在以 A, B, C, D, E, F 为顶点的五面…——2024 高考数学第 19 题答案解析

【答案】（1）证明见详解；
②$\frac{4 \sqrt{3}}{13}$

## 【解析】

【分析】（1）结合已知易证四边形 $B C D M$ 为平行四边形，可证 $B M / / C D$ ，进而得证；
（2）作 $B O \perp A D$ 交 $A D$ 于 $O$ ，连接 $O F$ ，易证 $O B, O D, O F$ 三垂直，采用建系法结合二面角夹角余弦公式即可求解．

## 【小问 1 详解】

因为 $B C / / A D, E F=2, A D=4, M$ 为 $A D$ 的中点，所以 $B C / / M D, B C=M D$ ，

四边形 $B C D M$ 为平行四边形，所以 $B M / / C D$ ，又因为 $B M \not \subset$ 平面 $C D E$ ，
$C D \subset$ 平面 $C D E$ ，所以 $B M / /$ 平面 $C D E$ ；

## 【小问 2 详解】

如图所示，作 $B O \perp A D$ 交 $A D$ 于 $O$ ，连接 $O F$ ，
因为四边形 $A B C D$ 为等腰梯形，$B C / / A D, A D=4, A B=B C=2$ ，所以 $C D=2$ ，
结合①$B C D M$ 为平行四边形，可得 $B M=C D=2$ ，又 $A M=2$ ，
所以 $\triangle A B M$ 为等边三角形，$O$ 为 $A M$ 中点，所以 $O B=\sqrt{3}$ ，
又因为四边形 $A D E F$ 为等腰梯形，$M$ 为 $A D$ 中点，所以 $E F=M D, E F / / M D$ ，
四边形 $E F M D$ 为平行四边形，$F M=E D=A F$ ，
所以 $\triangle A F M$ 为等腰三角形，$\triangle A B M$ 与 $\triangle A F M$ 底边上中点 $O$ 重合，$O F \perp A M$ ， $O F=\sqrt{A F^{2}-A O^{2}}=3$,

因为 $O B^{2}+O F^{2}=B F^{2}$ ，所以 $O B \perp O F$ ，所以 $O B, O D, O F$ 互相垂直，

以 $O B$ 方向为 $x$ 轴，$O D$ 方向为 $y$ 轴，$O F$ 方向为 $z$ 轴，建立 $O-x y z$ 空间直角坐标系，
$F(0,0,3), \quad B(\sqrt{3}, 0,0), M(0,1,0), E(0,2,3), \quad \overrightarrow{B M}=(-\sqrt{3}, 1,0), \overrightarrow{B F}=(-\sqrt{3}, 0,3)$,
$\overrightarrow{B E}=(-\sqrt{3}, 2,3)$ ，设平面 $B F M$ 的法向量为 $\vec{m}=\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$ ，
平面 $E M B$ 的法向量为 $\vec{n}=\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)$ ，
则 $\left\{\begin{array}{l}\vec{m} \cdot \overrightarrow{B M}=0 \\ \vec{m} \cdot \overrightarrow{B F}=0\end{array}\right.$ ，即 $\left\{\begin{array}{l}-\sqrt{3} x_{1}+y_{1}=0 \\ -\sqrt{3} x_{1}+3 z_{1}=0\end{array}\right.$ ，令 $x_{1}=\sqrt{3}$ ，得 $y_{1}=3, z_{1}=1$ ，即 $\vec{m}=(\sqrt{3}, 3,1)$ ，
则 $\left\{\begin{array}{l}\vec{n} \cdot \overrightarrow{B M}=0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{B E}=0\end{array}\right.$ ，即 $\left\{\begin{array}{l}-\sqrt{3} x_{2}+y_{2}=0 \\ -\sqrt{3} x_{2}+2 y_{2}+3 z_{2}=0\end{array}\right.$ ，令 $x_{2}=\sqrt{3}$ ，得 $y_{2}=3, z_{2}=-1$ ，
即 $\vec{n}=(\sqrt{3}, 3,-1), \cos \vec{m}, \vec{n}=\frac{\vec{m} \cdot \vec{n}}{|\vec{m}| \cdot|\vec{n}|}=\frac{11}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{13}}=\frac{11}{13}$ ，则 $\sin \vec{m}, \vec{n}=\frac{4 \sqrt{3}}{13}$ ，
故二面角 $F-B M-E$ 的正弦值为 $\frac{4 \sqrt{3}}{13}$ ．