记 A B C 内角 A、 B、 C 的对边分别为 a,…——2024 高考数学第 15 题答案解析

【答案】①$B=\frac{\pi}{3}$
② $2 \sqrt{2}$

## 【解析】

【分析】①由余弦定理、平方关系依次求出 $\cos C, \sin C$ ，最后结合已知 $\sin C=\sqrt{2} \cos B$ 得 $\cos B$ 的值即可；
（2）首先求出 $A, B, C$ ，然后由正弦定理可将 $a, b$ 均用含有 $c$ 的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解．

## 【小问 1 详解】

由余弦定理有 $a^{2}+b^{2}-c^{2}=2 a b \cos C$ ，对比已知 $a^{2}+b^{2}-c^{2}=\sqrt{2} a b$ ，
可得 $\cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2 a b}=\frac{\sqrt{2} a b}{2 a b}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，

因为 $C \in(0, \pi)$ ，所以 $\sin C>0$ ，
从而 $\sin C=\sqrt{1-\cos ^{2} C}=\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，
又因为 $\sin C=\sqrt{2} \cos B$ ，即 $\cos B=\frac{1}{2}$ ，
注意到 $B \in(0, \pi)$ ，
所以 $B=\frac{\pi}{3}$ ．

## 【小问 2 详解】

由①可得 $B=\frac{\pi}{3}, \cos C=\frac{\sqrt{2}}{2}, C \in(0, \pi)$ ，从而 $C=\frac{\pi}{4}, A=\pi-\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}=\frac{5 \pi}{12}$ ，
而 $\sin A=\sin \left(\frac{5 \pi}{12}\right)=\sin \left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ ，
由正弦定理有 $\frac{a}{\sin \frac{5 \pi}{12}}=\frac{b}{\sin \frac{\pi}{3}}=\frac{c}{\sin \frac{\pi}{4}}$ ，
从而 $a=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \cdot \sqrt{2} c=\frac{\sqrt{3}+1}{2} c, b=\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{2} c=\frac{\sqrt{6}}{2} c$ ，

由三角形面积公式可知，$\triangle A B C$ 的面积可表示为
$S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} a b \sin C=\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}+1}{2} c \cdot \frac{\sqrt{6}}{2} c \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3+\sqrt{3}}{8} c^{2}$ ，
由已知 $\triangle A B C$ 的面积为 $3+\sqrt{3}$ ，可得 $\frac{3+\sqrt{3}}{8} c^{2}=3+\sqrt{3}$ ，
所以 $c=2 \sqrt{2}$ ．