已知动点 P、 Q 都在曲线 C: array l x=2…——2013 高考数学第 23 题答案解析

【考点】 QH ：参数方程化成普通方程．
【专题】5S：坐标系和参数方程．
【分析】（1）利用参数方程与中点坐标公式即可得出；
（2）利用两点之间的距离公式、三角函数的单调性即可得出．
【解答】解：（1）依题意有 $\mathrm{P}(2 \cos \alpha, 2 \sin \alpha), \mathrm{Q}(2 \cos 2 \alpha, 2 \sin 2 \alpha)$ ，因此M $(\cos \alpha+\cos 2 \alpha, \sin \alpha+\sin 2 \alpha)$ ．
$M$ 的轨迹的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos \alpha+\cos 2 \alpha \\ y=\sin 2 \alpha+\sin \alpha\end{array}\right.$（ $\alpha$ 为参数， $0<\alpha<2 \pi$ ）．
（2）$M$ 点到坐标原点的距离 $d=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{2+2 \cos \alpha} \quad(0<\alpha<2 \pi)$ ．
当 $\alpha=\pi$ 时，$d=0$ ，故 $M$ 的轨迹过坐标原点．
【点评】本题考查了参数方程与中点坐标公式、两点之间的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．