【选修4－－5；不等式选讲】 设 a, b，c均为正数，且…——2013 高考数学第 24 题答案解析

【考点】R6：不等式的证明．
【专题】14：证明题；16：压轴题．
【分析】（I）依题意，由 $a+b+c=1 \Rightarrow(a+b+c)^{2}=1 \Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+2 a b+2 b c+2 c a=1$ ，利用基本不等式可得3 $(a b+b c+c a) \leq 1$ ，从而得证；
（II）利用基本不等式可证得：$\frac{a^{2}}{b}+b \geq 2 a, ~ \frac{b^{2}}{c}+c \geq 2 b, ~ \frac{c^{2}}{a}+a \geq 2 c$ ，三式累加即可证得结论．

【解答】证明：（ I ）由 $a^{2}+b^{2} \geq 2 a b, b^{2}+c^{2} \geq 2 b c, c^{2}+a^{2} \geq 2 c a$ 得：
$a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq a b+b c+c a$,
由题设得 $(a+b+c)^{2}=1$ ，即 $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2 a b+2 b c+2 c a=1$ ，
所以 $3(a b+b c+c a) \leq 1$ ，即 $a b+b c+c a \leq \frac{1}{3}$ ．
（II）因为 $\frac{a^{2}}{b}+b \geq 2 a, \frac{b^{2}}{c}+c \geq 2 b, \frac{c^{2}}{a}+a \geq 2 c$ ，
故 $\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}+(a+b+c) \geq 2(a+b+c)$ ，即 $\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a} \geq a+b+c$ ．
所以 $\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a} \geq 1$ ．
【点评】本题考查不等式的证明，突出考查基本不等式与综合法的应用，考查推理论证能力，属于中档题．