（5分）已知函数 f(x)=x^ 3 +a x^ 2 +b…——2013 高考数学第 10 题答案解析

【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．
【专题】53：导数的综合应用．
【分析】利用导数的运算法则得出 $f^{\prime}(x)$ ，分 $\triangle>0$ 与 $\triangle \leq 0$ 讨论，列出表格，即可得出。

【解答】解：$f^{\prime}(x)=3 x^{2}+2 a x+b$ ．
（1）当 $\triangle=4 a^{2}-12 b>0$ 时，$f^{\prime}(x)=0$ 有两解，不妨设为 $x_{1}

由表格可知：
（1）$x_{2}$ 是函数 $f(x)$ 的极小值点，但是 $f(x)$ 在区间 $\left(-\infty, x_{2}\right)$ 不具有单调性，故C不正确．
（2）$\because f\left(-\frac{2 a}{3}-x\right)+f(x)=\left(-\frac{2 a}{3}-x\right)^{3}+a\left(-\frac{2 a}{3}-x\right)^{2}+b\left(-\frac{2 a}{3}-x\right)+c+x^{3}+a x^{2}+b x+c= \frac{4}{27} a^{3}-\frac{2 a b}{3}+2 c$,
$f\left(-\frac{a}{3}\right)=\left(-\frac{a}{3}\right)^{3}+a\left(-\frac{a}{3}\right)^{2}+b\left(-\frac{a}{3}\right)+c=\frac{2}{27} a^{3}-\frac{a b}{3}+c$,
$\because f\left(-\frac{2 a}{3}-x\right)+f(x)=2 f\left(-\frac{a}{3}\right)$ ，
∴ 点 $\mathrm{P}\left(-\frac{\mathrm{a}}{3}, \mathrm{f}\left(-\frac{\mathrm{a}}{3}\right)\right)$ 为对称中心，故 B 正确．
（3）由表格可知 $x_{1}, x_{2}$ 分别为极值点，则 $f^{\prime}\left(x_{1}\right)=f^{\prime}\left(x_{2}\right)=0$ ，故D正确．
（4）$\because x \rightarrow-\infty$ 时，$f(x) \rightarrow-\infty ; x \rightarrow+\infty, f(x) \rightarrow+\infty$ ，函数 $f(x)$ 必然穿过 $x$ 轴，

即 $\exists x_{\alpha} \in R, f\left(x_{\alpha}\right)=0$ ，故A正确。
（2）当 $\triangle \leq 0$ 时，$f^{\prime}(x)=3\left(x+\frac{a}{3}\right)^{2} \geqslant 0$ ，故 $f(x)$ 在 $R$ 上单调递增，（1）此时不存在极值点，故D正确，C不正确；
② B 同（1）中（2）正确；
（3）∵ $x \rightarrow-\infty$ 时，$f(x) \rightarrow-\infty ; x \rightarrow+\infty, f(x) \rightarrow+\infty$ ，函数 $f(x)$ 必然穿过 $x$ 轴，即 $\exists x_{0} \in R, f\left(x_{0}\right)=0$ ，故A正确．

综上可知：错误的结论是C．
由于该题选择错误的，故选：C．
【点评】熟练掌握导数的运算法则、中心得出的定义、单调性与极值的关系等基础知识与方法，考查了分类讨论的思想方法等基本方法。