在正方体 A B C D-A_ 1 B_ 1 C_ 1 D…——2023 高考数学第 16 题答案解析

【答案】 $[2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{3}]$

## 【解析】

【分析】当球是正方体的外接球时半径最大，当边长为 4 的正方形是球的大圆的内接正方形时半径达到最小。

【详解】设球的半径为 $R$ ．
当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求的球的半径最大，若半径变得更大，球会包含正方体，导致球面和棱没有交点，

正方体的外接球直径 $2 R^{\prime}$ 为体对角线长 $A C_{1}=\sqrt{4^{2}+4^{2}+4^{2}}=4 \sqrt{3}$ ，即 $2 R^{\prime}=4 \sqrt{3}, R^{\prime}=2 \sqrt{3}$ ，故 $R_{\text {max }}=2 \sqrt{3}$ ；

分别取侧棱 $A A_{1}, B B_{1}, C C_{1}, D D_{1}$ 的中点 $M, H, G, N$ ，显然四边形 $M N G H$ 是边长为4的正方形，且 $O$ 为正方形 $M N G H$ 的对角线交点，

连接 $M G$ ，则 $M G=4 \sqrt{2}$ ，当球的一个大圆恰好是四边形 $M N G H$ 的外接圆，球的半径达到最小，即 $R$的最小值为 $2 \sqrt{2}$ ．

综上，$R \in[2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{3}]$ ．
故答案为：$[2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{3}]$