已知函数 f(x)=ln x 2-x +a x+b(x-1…——2024 高考数学第 18 题答案解析

【答案】（1）-2
（2）证明见解析
③$b \geq-\frac{2}{3}$

## 【解析】

【分析】（1）求出 $f^{\prime}(x)_{\min }=2+a$ 后根据 $f^{\prime}(x) \geq 0$ 可求 $a$ 的最小值；
②设 $P(m, n)$ 为 $y=f(x)$ 图象上任意一点，可证 $P(m, n)$ 关于 $(1, a)$ 的对称点为 $Q(2-m, 2 a-n)$ 也在函数的图像上，从而可证对称性；
（3）根据题设可判断 $f(1)=-2$ 即 $a=-2$ ，再根据 $f(x)>-2$ 在 $(1,2)$ 上恒成立可求得 $b \geq-\frac{2}{3}$ ．
【小问 1 详解】
$b=0$ 时，$f(x)=\ln \frac{x}{2-x}+a x$ ，其中 $x \in(0,2)$ ，
则 $f^{\prime}(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{2-x}=\frac{2}{x(2-x)}+a, x \in(0,2)$ ，
因为 $x(2-x) \leq\left(\frac{2-x+x}{2}\right)^{2}=1$ ，当且仅当 $x=1$ 时等号成立，
故 $f^{\prime}(x)_{\text {min }}=2+a$ ，而 $f^{\prime}(x) \geq 0$ 成立，故 $a+2 \geq 0$ 即 $a \geq-2$ ，
所以 $a$ 的最小值为 -2 ．，

## 【小问 2 详解】

$f(x)=\ln \frac{x}{2-x}+a x+b(x-1)^{3}$ 的定义域为 $(0,2)$ ，
设 $P(m, n)$ 为 $y=f(x)$ 图象上任意一点，
$P(m, n)$ 关于 $(1, a)$ 的对称点为 $Q(2-m, 2 a-n)$ ，
因为 $P(m, n)$ 在 $y=f(x)$ 图象上，故 $n=\ln \frac{m}{2-m}+a m+b(m-1)^{3}$ ，
而 $f(2-m)=\ln \frac{2-m}{m}+a(2-m)+b(2-m-1)^{3}=-\left[\ln \frac{m}{2-m}+a m+b(m-1)^{3}\right]+2 a$ ，
$=-n+2 a$ ，
所以 $Q(2-m, 2 a-n)$ 也在 $y=f(x)$ 图象上，
由 $P$ 的任意性可得 $y=f(x)$ 图象为中心对称图形，且对称中心为 $(1, a)$ ．

## 【小问 3 详解】

因为 $f(x)>-2$ 当且仅当 $1所以 $f(1)=-2$ 即 $a=-2$ ，
先考虑 $1-2$ 恒成立．
此时 $f(x)>-2$ 即为 $\ln \frac{x}{2-x}+2(1-x)+b(x-1)^{3}>0$ 在 $(1,2)$ 上恒成立，
设 $t=x-1 \in(0,1)$ ，则 $\ln \frac{t+1}{1-t}-2 t+b t^{3}>0$ 在 $(0,1)$ 上恒成立，
设 $g(t)=\ln \frac{t+1}{1-t}-2 t+b t^{3}, t \in(0,1)$ ，
则 $g^{\prime}(t)=\frac{2}{1-t^{2}}-2+3 b t^{2}=\frac{t^{2}\left(-3 b t^{2}+2+3 b\right)}{1-t^{2}}$ ，
当 $b \geq 0,-3 b t^{2}+2+3 b \geq-3 b+2+3 b=2>0$ ，
故 $g^{\prime}(t)>0$ 恒成立，故 $g(t)$ 在 $(0,1)$ 上为增函数，
故 $g(t)>g(0)=0$ 即 $f(x)>-2$ 在 $(1,2)$ 上恒成立．
当 $-\frac{2}{3} \leq b<0$ 时，$-3 b t^{2}+2+3 b \geq 2+3 b \geq 0$ ，
故 $g^{\prime}(t) \geq 0$ 恒成立，故 $g(t)$ 在 $(0,1)$ 上为增函数，
故 $g(t)>g(0)=0$ 即 $f(x)>-2$ 在 $(1,2)$ 上恒成立．

当 $b<-\frac{2}{3}$ ，则当 $0故在 $\left(0, \sqrt{1+\frac{2}{3 b}}\right)$ 上 $g(t)$ 为减函数，故 $g(t)综上，$f(x)>-2$ 在 $(1,2)$ 上恒成立时 $b \geq-\frac{2}{3}$ ．
而当 $b \geq-\frac{2}{3}$ 时，
而 $b \geq-\frac{2}{3}$ 时，由上述过程可得 $g(t)$ 在 $(0,1)$ 递增，故 $g(t)>0$ 的解为 $(0,1)$ ，
即 $f(x)>-2$ 的解为 $(1,2)$ ．
综上，$b \geq-\frac{2}{3}$ ．
【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况．