（15分）（2016•浙江）如图，在三棱台 ABC - D…——2016 高考数学第 18 题答案解析

【分析】（I）根据三棱台的定义，可知分别延长 $\mathrm{AD}, \mathrm{BE}, \mathrm{CF}$ ，会交于一点，并设该点为 K ，并且可以由平面 $B C F E \perp$ 平面 $A B C$ 及 $\angle A C B=90^{\circ}$ 可以得出 $A C \perp$ 平面 $B C K$ ，进而得出 $B F \perp A C$ ．而根据条件可以判断出点 $E$ ，$F$ 分别为边 $B K$ ，$C K$ 的中点，从而得出 $\triangle B C K$ 为等边三角形，进而得出 $\mathrm{BF} \perp \mathrm{CK}$ ，从而根据线面垂直的判定定理即可得出 $\mathrm{BF} \perp$ 平面 ACFD ；
（II）由 $\mathrm{BF} \perp$ 平面 ACFD 便可得出 $\angle \mathrm{BDF}$ 为直线 BD 和平面 ACFD 所成的角，根据条件可以求出 $\mathrm{BF}=\sqrt{3}, ~ \mathrm{DF}=\frac{3}{2}$ ，从而在 Rt $\triangle \mathrm{BDF}$ 中可以求出 BD 的值，从而得出 $\cos \angle \mathrm{BDF}$ 的值，即得出直线 BD 和平面 ACFD 所成角的余弦值。
【解答】解：（ I ）证明：延长 $\mathrm{AD}, \mathrm{BE}, \mathrm{CF}$ 相交于一点 K ，如图所示：
∵ 平面 $\mathrm{BCFE} \perp$ 平面 ABC ，且 $\mathrm{AC} \perp \mathrm{BC}$ ；
$\therefore \mathrm{AC} \perp$ 平面 $\mathrm{BCK}, ~ \mathrm{BFC}$ 平面 BCK ；
$\therefore \mathrm{BF} \perp \mathrm{AC}$ ；
又 $\mathrm{EF} / / \mathrm{BC}, \mathrm{BE}=\mathrm{EF}=\mathrm{FC}=1, \mathrm{BC}=2$ ；
$\therefore \triangle \mathrm{BCK}$ 为等边三角形，且 F 为 CK 的中点；
$\therefore \mathrm{BF} \perp \mathrm{CK}$ ，且 $\mathrm{AC} \cap \mathrm{CK}=\mathrm{C}$ ；
$\therefore \mathrm{BF} \perp$ 平面 ACFD ；
（II）$\because \mathrm{BF} \perp$ 平面 ACFD ；
$\therefore \angle \mathrm{BDF}$ 是直线 BD 和平面 ACFD 所成的角；
$\because \mathrm{F}$ 为 CK 中点，且 $\mathrm{DF} / / \mathrm{AC}$ ；
$\therefore \mathrm{DF}$ 为 $\triangle \mathrm{ACK}$ 的中位线，且 $\mathrm{AC}=3$ ；
$\therefore \mathrm{DF}=\frac{3}{2}$ ；
又 $\mathrm{BF}=\sqrt{3}$ ；
∴ 在 Rt $\triangle \mathrm{BFD}$ 中， $\mathrm{BD}=\sqrt{3+\frac{9}{4}}=\frac{\sqrt{21}}{2}, \cos \angle \mathrm{BDF}=\frac{\mathrm{DF}}{\mathrm{BD}}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{\sqrt{21}}{2}}=\frac{\sqrt{21}}{7}$ ；
即直线 BD 和平面 ACFD 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{21}}{7}$ ．

【点评】考查三角形中位线的性质，等边三角形的中线也是高线，面面垂直的性质定理，以及线面垂直的判定定理，线面角的定义及求法，直角三角形边的关系，三角函数的定义。