2022_浙江卷 (2022)
14．已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{c}-x^{2}+2, x \leq 1, \\ x+\frac{1}{x}-1, x>1,\end{array}\right.$ 则 $f\left(f\left(\frac{1}{2}\right)\right)=$ $\_\_\_\_$ ；若当 $x \in[a, b]$ 时， $1 \leq f(x) \leq 3$ ，则 $b-a$ 的最大值是 $\_\_\_\_$ ．
【答案】
①．$\frac{37}{28}$
②． $3+\sqrt{3} \# \# \sqrt{3}+3$
## 【解析】
【分析】结合分段函数的解析式求函数值，由条件求出 $a$ 的最小值，$b$ 的最大值即可．
【详解】由已知 $f\left(\frac{1}{2}\right)=-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+2=\frac{7}{4}, f\left(\frac{7}{4}\right)=\frac{7}{4}+\frac{4}{7}-1=\frac{37}{28}$ ，
所以 $f\left[f\left(\frac{1}{2}\right)\right]=\frac{37}{28}$ ，
当 $x \leq 1$ 时，由 $1 \leq f(x) \leq 3$ 可得 $1 \leq-x^{2}+2 \leq 3$ ，所以 $-1 \leq x \leq 1$ ，
当 $x>1$ 时，由 $1 \leq f(x) \leq 3$ 可得 $1 \leq x+\frac{1}{x}-1 \leq 3$ ，所以 $1
所以 $b-a$ 的最大值为 $3+\sqrt{3}$ ．
故答案为：$\frac{37}{28}, 3+\sqrt{3}$ ．