在平面直角坐标系 x O y 中，以坐标原点 O 为极点，…——2024 高考数学第 19 题答案解析

【答案】①$y^{2}=2 x+1$
②$a=\frac{3}{4}$

## 【解析】

【分析】（1）根据 $\left\{\begin{array}{l}\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \\ \rho \cos \theta=x\end{array}\right.$ 可得 $C$ 的直角方程．
（2）将直线的新的参数方程代入 $C$ 的直角方程，
法 1：结合参数 $s$ 的几何意义可得关于 $a$ 的方程，从而可求参数 $a$ 的值；
法 2：将直线的直角方程与曲线的直角方程联立，结合弦长公式可求 $a$ 的值．

## 【小问 1 详解】

由 $\rho=\rho \cos \theta+1$ ，将 $\left\{\begin{array}{l}\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \\ \rho \cos \theta=x\end{array}\right.$ 代入 $\rho=\rho \cos \theta+1$ ，
故可得 $\sqrt{x^{2}+y^{2}}=x+1$ ，两边平方后可得曲线的直角坐标方程为 $y^{2}=2 x+1$ ．

## 【小问 2 详解】

对于直线 $l$ 的参数方程消去参数 $t$ ，得直线的普通方程为 $y=x+a$ ．
法 1：直线 $l$ 的斜率为 1 ，故倾斜角为 $\frac{\pi}{4}$ ，
故直线的参数方程可设为 $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{\sqrt{2}}{2} s \\ y=a+\frac{\sqrt{2}}{2} s\end{array}, s \in \mathbf{R}\right.$ ．
将其代入 $y^{2}=2 x+1$ 中得 $s^{2}+2 \sqrt{2}(a-1) s+2\left(a^{2}-1\right)=0$
设 $A, B$ 两点对应的参数分别为 $s_{1}, s_{2}$ ，则 $s_{1}+s_{2}=-2 \sqrt{2}(a-1), s_{1} s_{2}=2\left(a^{2}-1\right)$ ，
且 $\Delta=8(a-1)^{2}-8\left(a^{2}-1\right)=16-16 a>0$ ，故 $\boldsymbol{a}<1$ ，
$\therefore|A B|=\left|s_{1}-s_{2}\right|=\sqrt{\left(s_{1}+s_{2}\right)^{2}-4 s_{1} s_{2}}=\sqrt{8(a-1)^{2}-8\left(a^{2}-1\right)}=2$ ，解得 $a=\frac{3}{4}$ ．
法 2：联立 $\left\{\begin{array}{l}y=x+a \\ y^{2}=2 x+1\end{array}\right.$ ，得 $x^{2}+(2 a-2) x+a^{2}-1=0$ ，
$\Delta=(2 a-2)^{2}-4\left(a^{2}-1\right)=-8 a+8>0$ ，解得 $\boldsymbol{a}<1$,

设 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right), \therefore x_{1}+x_{2}=2-2 a, x_{1} x_{2}=a^{2}-1$ ，
则 $|A B|=\sqrt{1+1^{2}} \cdot \sqrt{\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-4 x_{1} x_{2}}=\sqrt{2} \cdot \sqrt{(2-2 a)^{2}-4\left(a^{2}-1\right)}=2$ ，
解得 $a=\frac{3}{4}$