记函数 f(x)=cos (ω x+ )(ω>0,0< <…——2022 高考数学第 15 题答案解析

【答案】3

【解析】

【分析】首先表示出 $T$ ，根据 $f(T)=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 求出 $\varphi$ ，再根据 $x=\frac{\pi}{9}$ 为函数的零点，即可求出 $\omega$ 的取值，从而得解；

【详解】解：因为 $f(x)=\cos (\omega x+\varphi),(\omega>0,0<\varphi<\pi)$
所以最小正周期 $T=\frac{2 \pi}{\omega}$ ，因为 $f(T)=\cos \left(\omega \cdot \frac{2 \pi}{\omega}+\varphi\right)=\cos (2 \pi+\varphi)=\cos \varphi=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，
又 $0<\varphi<\pi$ ，所以 $\varphi=\frac{\pi}{6}$ ，即 $f(x)=\cos \left(\omega x+\frac{\pi}{6}\right)$ ，
又 $x=\frac{\pi}{9}$ 为 $f(x)$ 的零点，所以 $\frac{\pi}{9} \omega+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}+k \pi, k \in Z$ ，解得 $\omega=3+9 k, k \in Z$ ，

因为 $\omega>0$ ，所以当 $k=0$ 时 $\omega_{\text {min }}=3$ ；
故答案为： 3