2013_退役省自主命题 (2013·文)
18．（2013广东，文18）（本小题满分14分）如图（1），在边长为 1 的等边三角形 $A B C$ 中，$D, E$ 分别是 $A B, A C$ 上的点，$A D=A E, F$ 是 $B C$ 的中点，$A F$ 与 $D E$ 交于点 $G$ ．将 $\triangle A B F$ 沿 $A F$ 折起，得到如图（2）所示的三棱锥 $A-B C F$ ，其中 $B C=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．
图（1）
图（2）
（1）证明：$D E \|$ 平面 $B C F$ ；
（2）证明：$C F \perp$ 平面 $A B F$ ；
（3）当 $A D=\frac{2}{3}$ 时，求三棱锥 $F-D E G$ 的体积 $V_{F-D E G}$ 。
【解答】
（1）证明：在等边三角形 $A B C$ 中，
$\because A D=A E, \quad \therefore \frac{A D}{D B}=\frac{A E}{E C}$ ．
又 $\frac{A D}{D B}=\frac{A E}{E C}$ ，在折叠后的三棱锥 $A-B C F$ 中也成立，
$\therefore D E \| B C$ ．
$\because D E \not \subset$ 平面 $B C F, B C \subset$ 平面 $B C F$ ，
$\therefore D E \|$ 平面 $B C F$ ．
（2）证明：在等边三角形 $A B C$ 中，$\because F$ 是 $B C$ 的中点，$B C=1, \therefore A F \perp C F, B F=C F=\frac{1}{2}$ ．
∵ 在三棱锥 $A-B C F$ 中，$B C=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，
$\therefore B C^{2}=B F^{2}+C F^{2} . \therefore C F \perp B F$ ．
$\because B F \cap A F=F, \quad \therefore C F \perp$ 平面 $A B F$ ．
（3）解：由（1）可知 $G E \| C F$ ，结合（2）可得 $G E \perp$ 平面 $D F G$ 。
∴ $V_{F-D E G}=V_{E-D F G}=\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \cdot D G \cdot F G \cdot G E=\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times\left(\frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \times \frac{1}{3}=\frac{\sqrt{3}}{324}$ ．