（15 分）（2016•浙江）设函数 f ( x )= x…——2016 高考数学第 20 题答案解析

【分析】（I）根据题意， $1-x+x^{2}-x^{3}=\frac{1-(-x)^{4}}{1-(-x)}$ ，利用放缩法得 $\frac{1-x^{4}}{1+x} \leqslant \frac{1}{1+x}$ ，即可证明结论成立；
（II）利用 $0 \leqslant x \leqslant 1$ 时 $x^{3} \leqslant x$ ，证明 $f(x) \leqslant \frac{3}{2}$ ，再利用配方法证明 $f(x) \geqslant \frac{3}{4}$ ，结合函数的最小值得出 $\mathrm{f}(\mathrm{x})>\frac{3}{4}$ ，即证结论成立．
【解答】解：（ I ）证明：因为 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{3}+\frac{1}{\mathrm{x}+1}, \mathrm{x} \in[0,1]$ ，
且 $1-x+x^{2}-x^{3}=\frac{1-(-x)^{4}}{1-(-x)}=\frac{1-x^{4}}{1+x}$ ，
所以 $\frac{1-\mathrm{x}^{4}}{1+\mathrm{x}} \leqslant \frac{1}{1+\mathrm{x}}$ ，
所以 $1-x+x^{2}-x^{3} \leqslant \frac{1}{x+1}$ ，
即 $\mathrm{f}(\mathrm{x}) \geqslant 1-\mathrm{x}+\mathrm{x}^{2}$ ；
（II）证明：因为 $0 \leqslant x \leqslant 1$ ，所以 $x^{3} \leqslant x$ ，
所以 $f(x)=x^{3}+\frac{1}{x+1} \leqslant x+\frac{1}{x+1}=x+\frac{1}{x+1}-\frac{3}{2}+\frac{3}{2}=\frac{(x-1)(2 x+1)}{2(x+1)}+\frac{3}{2} \leqslant \frac{3}{2}$ ；
由（I）得，$f(x) \geqslant 1-x+x^{2}=\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{3}{4} \geqslant \frac{3}{4}$ ，

且f $\left(\frac{1}{2}\right)=\left(\frac{1}{2}\right)^{3}+\frac{1}{1+\frac{1}{2}}=\frac{19}{24}>\frac{3}{4}$ ，
所以 $\mathrm{f}(\mathrm{x})>\frac{3}{4}$ ；
综上，$\frac{3}{4}<\mathrm{f}(\mathrm{x}) \leqslant \frac{3}{2}$ ．
【点评】本题主要考查了函数的单调性与最值，分段函数等基础知识，也考查了推理与论证，分析问题与解决问题的能力，是综合性题目。