（12分）如图，直三棱柱 A B C-A_ 1 B_ 1…——2013 高考数学第 18 题答案解析

【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行．

【专题】5F：空间位置关系与距离．
【分析】（I）连接 $\mathrm{AC}_{1}$
交 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{C}$ 于点 F ，则 DF 为三角形 $\mathrm{ABC}_{1}$ 的中位线，故 $\mathrm{DF} \| \mathrm{BC}_{1}$ ．再根据直线和平面平行的判定定理证得
$\mathrm{BC}_{1} \|$ 平面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{CD}$ ．
（II）由题意可得此直三棱柱的底面 $A B C$ 为等腰直角三角形，由 $D$ 为 $A B$ 的中点可得 $C D \perp$ 平面 $A B_{1} A_{1}$ ．求得 $C D$ 的值，利用

勾股定理求得 $A_{1} D$ 、 $D E$ 和 $A_{1} E$ 的值，可得 $A_{1} D \perp D E$ ．进而求得 $S_{\triangle A_{1}} D E$ 的值，再根据三棱锥C－ $\mathrm{A}_{1} \mathrm{DE}$ 的体积

为 $\frac{1}{3} \bullet \mathrm{~S}_{\triangle \mathrm{A}_{1} \mathrm{DE}} \cdot \mathrm{CD}$ ，运算求得结果。
【解答】解：（I ）证明：连接 $A C_{1}$ 交 $A_{1} C$ 于点 $F$ ，则 $F$ 为 $A C_{1}$ 的中点．
∵ 直棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，$D, E$ 分别是 $A B, B B_{1}$ 的中点，故 $D F$ 为三角形 $A B C_{1}$ 的中位线，故 $\mathrm{DF} \| \mathrm{BC}_{1}$ ．

由于 $D F \subset$ 平面 $A_{1} C D$ ，而 $B C_{1}$ 不在平面 $A_{1} C D$ 中，故有 $B C_{1} \|$ 平面 $A_{1} C D$ ．

（II）$\because A A_{1}=A C=C B=2, A B=2 \sqrt{2}$ ，故此直三棱柱的底面 $A B C$ 为等腰直角三角形。
由 $D$ 为 $A B$ 的中点可得 $C D \perp$ 平面 $A B B_{1} A_{1}, \therefore C D=\frac{A C \cdot B C}{A B}=\sqrt{2}$ ．
$\because \mathrm{A}_{1} \mathrm{D}=\sqrt{\mathrm{A}_{1} \mathrm{~A}^{2}+\mathrm{AD}^{2}}=\sqrt{6}$ ，同理，利用勾股定理求得 $\mathrm{DE}=\sqrt{3}, \mathrm{~A}_{1} \mathrm{E}=3$ ．
再由勾股定理可得 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{D}^{2+} \mathrm{DE}^{2}=\mathrm{A}_{1} \mathrm{E}^{2}, \quad \therefore \mathrm{~A}_{1} \mathrm{D} \perp \mathrm{DE}$ ．
$\therefore S_{\triangle \mathrm{A}_{1} \mathrm{DE}}=\frac{1}{2} \cdot \mathrm{~A}_{1} \mathrm{D} \cdot \mathrm{DE}=\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ ，
$\therefore \mathrm{V}_{\mathrm{C}-\mathrm{A}_{1} \mathrm{DE}}=\frac{1}{3} \cdot \mathrm{~S}_{\triangle \mathrm{A}_{1} \mathrm{DE}} \cdot \mathrm{CD}=1$.

【点评】本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用，求三棱锥的体积，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．