（10分）如图， O A B 是等腰三角形， A O B=…——2016 高考数学第 22 题答案解析

【考点】N9：圆的切线的判定定理的证明．
【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法； 5 M ：推理和证明．
【分析】（ I ）设 $K$ 为 $A B$ 中点，连结 $O K$ ．根据等腰三角形 $A O B$ 的性质知 $O K \perp A B$ ， $\angle A=30^{\circ}, O K=O A \sin 30^{\circ}=\frac{1}{2} O A$ ，则 $A B$ 是圆 $O$ 的切线．
（II）设圆心为 $T$ ，证明 $O T$ 为 $A B$ 的中垂线，$O T$ 为 $C D$ 的中垂线，即可证明结论．
【解答】证明：（ I ）设 K 为 AB 中点，连结 OK ，
$\because \mathrm{OA}=\mathrm{OB}, \quad \angle \mathrm{AOB}=120^{\circ}$ ，
$\therefore \mathrm{OK} \perp \mathrm{AB}, \quad \angle \mathrm{A}=30^{\circ}, \quad \mathrm{OK}=\mathrm{OA} \sin 30^{\circ}=\frac{1}{2} \mathrm{OA}$ ，
∴ 直线 AB 与 $\odot \mathrm{O}$ 相切；
（II）因为 $O A=2 O D$ ，所以 $O$ 不是 $A, B, C, D$ 四点所在圆的圆心．设 $T$ 是 $A, B, C$ ，D四点所在圆的圆心．
$\because \mathrm{OA}=\mathrm{OB}, \quad \mathrm{TA}=\mathrm{TB}$ ，
$\therefore \mathrm{OT}$ 为 AB 的中垂线，
同理， $\mathrm{OC}=\mathrm{OD}$ ，TC＝TD，

$\therefore \mathrm{OT}$ 为CD的中垂线，
$\therefore A B \| C D$ ．
【点评】本题考查了切线的判定，考查四点共圆，考查学生分析解决问题的能力。解答此题时，充分利用了等腰三角形＂三合一＂的性质。