已知 f(x)= x e ^ x e ^ a x -1 是…——2023 高考数学第 4 题答案解析

【答案】D

## 【解析】

【分析】根据偶函数的定义运算求解．

【详解】因为 $f(x)=\frac{x \mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{a x}-1}$ 为偶函数，则 $f(x)-f(-x)=\frac{x \mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{a x}-1}-\frac{(-x) \mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^{-a x}-1}=\frac{x\left[\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{(a-1) x}\right]}{\mathrm{e}^{a x}-1}=0$ ，又因为 $x$ 不恒为 0 ，可得 $\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{(a-1) x}=0$ ，即 $\mathrm{e}^{x}=\mathrm{e}^{(a-1) x}$ ，

则 $x=(a-1) x$ ，即 $1=a-1$ ，解得 $a=2$ ．
故选：D．